Cтраница 1
Данный формализм требует, чтобы динамический оператор был линейным и чтобы его собственные бра - и кет-векторы образовывали ортогональный набор; дальнейшее ограничение возникает из физических соображений и сводится к тому, что результаты измерений, разумеется, должны быть действительными числами, а не комплексными. Мы не измеряем вес в мнимых граммах или расстояние в комплексных сантиметрах, поэтому собственные значения динамических операторов должны быть действительными числами. [1]
В данном формализме протон и нейтрон рассматриваются как два состояния одной частицы - нуклона. Поэтому полная волновая функция системы двух нуклонов, рассматриваемых ъ качестве тождественных частиц, должна обладать определенными свойствами симметрии относительно их перестановки. Так как тип симметрии не зависит от того, какая именно пара частиц переставляется, поменяем местами два протона. С другой стороны, из ( 134 8) видно, что при перестановке изо-яеременных двух протонов волновая функция не изменяется. [2]
Представляет значительный интерес включение в данный формализм каналов с несохранением числа пионов в промежуточных состояниях, а также его обобщение для описания общего случая многоканальных реакций. [3]
Рассмотрим теперь операторы, представляющие в данном формализме динамические функции. Пример с простым гамильтонианом, рассмотренный выше, ни в коем случае не является исключительным. Всякий оператор вызывает переходы некоторого числа частиц с одного уровня на другой. Другими словами, он уничтожает некоторое число частиц на одних уровнях и рождает их на других; амплитуда вероятности такого процесса равна матричному элементу оператора, взятому между соответствующими состояниями. [4]
Это соображение очень важно, так как понятие выводимости в данном формализме включает в себя не только условия выводимости соответствующего равенства, но также и условия невыводимости других равенств. [5]
Никаких трудностей в доказательстве не возникает и в том случае, если мы дополним данный формализм некоторыми естественными обобщениями схем индукции и рекурсии в том виде, как они были рассмотрены нами в гл. [6]
В самом деле, основная идея генценовского доказательства связана не с тем, что в рассматриваемом формализме имеется какая-либо возможность исключать трансфинитные средства, а только с тем, что, с одной стороны, выводы данного формализма в известной мере могут быть вполне упорядочены по степени их сложности и что, с другой стороны, для таких выводов, заключительные формулы которых изображают нечто в элементарном смысле ложное, может быть определена редукция, в результате однократного применения которой к заданному выводу, так сказать, исключается некоторый шаг этого вывода и порядковое число вывода при этом уменьшается. [7]
Данный принцип применим к системам, находящимся в весии. В этом отношении данный формализм весьма к равновесной термодинамике, которая хотя и всегда - описать равновесные состояния, однако не может указать нацрав ление изменения системы. [8]
Логика может также выполнять роль блюстителя логических принципов и правил во всех системах, кроме явно оговоренных исключений. Соблюдение этих принципов в данном формализме можно проверить переписыванием их в логический или простым сравнением с ним. [9]
При употреблении формулы (22.7) удобно брать Ьр несколько большим его минимально возможного значения. Точное значение логарифмической производной в данном формализме несущественно; другие же граничные условия будут рассмотрены несколько позже. Используемые здесь величины особенно удобны для приложений в области малых энергий. [10]
Содержащееся в этом определении требование ограничиваться формулами без свободных переменных является обязательным, потому что при изображении предложений типа всеобщности с помощью формул с одной или несколькими свободными переменными отрицание такого предложения не изображается отрицанием соответствующей формулы. Формула со свободными переменными, невыводимая в данном формализме Вместе со своим отрицанием, еще может и не изображать формально неразрешимое в этом формализме предложение. [11]
Устранимость их была доказана Гильбертом и Бернайсом [ 1934, стр. Эти доказательства устанавливают устранимость tw как формального оператора, присоединение которого к данному формализму делает возможным введение сразу всех описательных определений. [12]
Но во всяком случае заслуживает серьезного внимания та имеющая принципиальное значение мысль, которую Финслер - со ссылкой на существование в достаточно богатых выразительными возможностями формализованных языках дедуктивно неразрешимых предложений - выдвинул здесь на первый план, связав ее с вопросом о непротиворечивости. Он подчеркнул, что доказательство непротиворечивости какого-либо формализма в обычном смысле этого слова еще не дает - никаких гарантий от противоречий, потому что противоречие может заключаться в формальной выводимости отрицания некоторого выразимого в данном формализме, но не выводимого предложения, которое, однако, с содержательной точки зрения может быть признано истинным. [13]
Такой неформальный подход оказался в высшей степени полезным, поскольку он позволяет неискушенному пользователю сравнительно безболезненно усвоить основные принципы. Однако для правильной оценки исторических и теоретических оснований данного формализма требуется более тщательное рассмотрение. [14]
С формальной точки зрения оба этих подхода эквивалентны: одни и те - же предложения признаются истинными в обоих методах. Тем не менее считается, что теория моделей имеет более интуитивный подход к определению истинности. Теория доказательства часто обеспечивает более эффективные методы вычисления истинности фактов для данного формализма. [15]