Cтраница 2
Сеге нашел формулу представления многочленов, ортогональных на сегменте, через многочлены, ортогональные на окружности. С помощью этой формулы были подробно исследованы асимптотические свойства многочленов, ортогональных на сегменте. [16]
Из самой формулы представления непосредственно следует, что Kf ( 0) l - - 1М1 для каждого к с К1 и каждого t T NX 9 где Nx - локально пренебрежимое множество. С другой стороны, как мы уже видели, единичный шар в F слабо сепарабелен. Если теперь переопределить функцию f ( t), полагая ее равной нулю для t N, то левая часть формулы представления не изменится, и определенная таким образом функция f будет удовлетворять всем нашим требованиям. [17]
Перенесение методов приближенного решения, которые выше применялись к задачам статики, на задачи теории колебания не требует никаких принципиальных дополнений. Достаточно вместо матрицы Кельвина теперь рассматривать матрицу Купрадзе Г ( х - у, со) ( см. гл. II) и иметь в виду, что параметр со2 должен быть отличен от частот собственных колебаний исследуемой задачи. В главе VII было показано, что в этом случае имеют место основные теоремы существования и единственности, вместе с формулами представлений регулярного решения; но этого, как мы видели, достаточно для применения описанных способов приближенного решения. Что касается внешних задач, то в этом случае, как было показано в главе VII, теоремы существования и единственности, при условии излучения, имеют место для любых значений параметра со2 и, следовательно, приближенные методы всегда применимы. [18]
Метод граничных элементов ( МГЭ) - это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом: дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде ( точно или приближенно) фундаментальные решения ( или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений si исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения ( ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно ( более раннее) название МГЭ - метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [19]