Cтраница 2
Среди формул вида ( 5) наиболее употребительными являются формулы, соответствующие р 1-их называют формулами Адамса. Получим эти формулы вместе с оценкой остаточного члена. [16]
Отметим, наконец, что применение формул Адамса для численного интегрирования дифференциальных уравнений без отклонений аргумента требует по возможности точного вычисления решения на первых шагах, где формулы Адамса еще не работают. Это связано с определенными вычислительными трудностями. [17]
Можно, например, рекомендовать такую схему: па-чало вычисления ведется по формуле Эйлера ( 3) с уменьшенным шагом, для повышения точности при этом целесообразно применять итерации; после достаточного сглаживания решений переходим на вычисление по одной из формул Адамса. [18]
Это дает возможность найти разности величины ц со следующими номерами. Таким образом, формула Адамса (4.27) позволяет продолжить табл. 1.27 на один шаг, а значит и на любое дальнейшее число шагов. Тем самым вторая из поставленных выше задач, задача продолжения таблицы, оказывается решенной. [19]
Формула ( 12 - 69) получена исходя из интерполяционного многочлена, включающего разности третьего порядка. Аналогично могут быть получены формулы Адамса с другим числом точек интерполирования. Так, например, если ограничиться разностями первого порядка, то в результате будет получена формула Эйлера. Однако чем выше порядок интерполяционного многочлена, тем больше точек необходимо знать для начала вычислительного процесса. [20]
Формула ( 12 - 69) получена исходи из интерполяционного многочлена, включающего разности третьего порядка. Аналогично могут быть получены формулы Адамса с другим числом точек интерполирования. Так, например, если ограничиться разностями первого порядка, то в результате будет получена формула Эйлера. Однако чем выше порядок интерполяционного многочлена, тем больше точек необходимо знать для начала вычислительного процесса. [21]
Исходными здесь были хорошо известные формула Адамса для уравнений первого порядка и формула Штермера для уравнений второго порядка. К тому же рекурсионному классу принадлежит и формула, которую можно найти у М. Ф. Субботина [1, 2] и в которой для вычисления следующего значения yn i решения используются только значения правой части уравнения и их сумма первого порядка. [22]
Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса. [23]
В методах предсказания и коррекции последующее состояние предсказывается по формуле, использующей известные значения. При коррекции для улучшения оценки используется предсказанная информация. Примером пары формул предсказания - коррекции служат формулы Адамса и Бешфорта [ 2, стр. [24]
После этого ЭВМ на стадиях б, 7 и частично 8 выдает рецептуры пробных образцов. На стадии 6 для найденной приближенной рецептуры [ С ] Сх, С, С3 определяется кривая отражения. На стадии 7 рассчитывается, например, по формуле FMC-II или по принятой в стандартах ряда стран формуле Адамса - Ни-керсона расхождение по цвету между теоретически воспроизведенным образцом и эталоном. [25]
После этого ЭВМ на стадиях 6, 7 и частично 8 выдает рецептуры пробных образцов. На стадии 6 для найденной приближенной рецептуры [ С ] С1г Ct, C3 определяется кривая отражения. На стадии 7 рассчитывается, например, по формуле FMC-II или по принятой в стандартах ряда стран формуле Адамса - Ни-керсона расхождение по цвету между теоретически воспроизведенным образцом и эталоном. [26]
Рассматривается задача интегрирования для класса скалярных функций с ограниченной г-н производной. Показано, что формулы Эйлера и Грегори близки к оптимальным. Для некоторого класса функций / рассмотрены также обыкновенные дифференциальные уравнения у / ( х, у), доказана асимптотическая оптимальность формулы Адамса. [27]
В предложенной Карманом итерационной схеме второе приближение приводит к численному интегрированию, которое для некоторых случаев было выполнено. Адаме [17] предложил приводящий к аналитическим результатам метод, в котором используется степенная аппроксимация для т ( е) вместо линейной. Уайлд [ 1а ] эмпирически модифицировал формулу Адамса, чтобы получить лучшее согласие с точным численным расчетом. Фридман и Бурке для устранения трудности холодной границы в уравнении ( 43) приняли, что На. Несмотря на очевидность того факта, что уже имеется достаточное число приближенных формул, все еще предлагаются новые формулы. Хиршфельдером [20] предложены два приближенных метода ( один приводящий к квадратному уравнению для А, а другой - к кубическому уравнению для А), которые обеспечивают примерно такую же точность, как и метод Уайлда. [28]
Хотя неявные методы имеют большую локальную точность по сравнению с явными, нахождение каждого значения xi p более трудоемко. Поэтому заранее нельзя утверждать, что использование неявных формул предпочтительнее по сравнению с явными, так же как нельзя утверждать и обратное. Сравним теперь многошаговые формулы с одношаговыми формулами Рунге - Кутта. Прежде всего многошаговые формулы требуют особой процедуры для определения начального отрезка, что затрудняет изменение шага в процессе счета. Далее, если взять явную формулу Адамса 4 - й степени и формулу Рунге - Кутта той же степени, то постоянная в оценке локальной погрешности у формулы Адамса почти в 1000 раз больше, чем у формулы Рунге - Кутта. [29]