Cтраница 2
Таким образом, если одной из вершин многоугольника Д соответствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к этой вершине множитель в формуле Шварца - Кристоффеля выпадает. [16]
Выделяя из этого выражения действительную и мнимую части, получим функции Р и Q. Формула ( 8) носит название формулы Шварца. [17]
IV утверждения, мы вправе пользоваться формулами Шварца ( 4), ( 7), когда плотность интеграла на конечном множестве точек линии интегрирования обращается в бесконечность порядка ниже единицы. [18]
Заканчивая на этом рассмотрение теоретических примеров струйных течений, отметим, что в них, как и во всех струйных задачах, связанных с обтеканием многоугольников, годографы скорости были ограничены дугами концентрических окружностей и радиусами этих дуг. В плоскости псевдогодографа ( In V) получаются прямоугольные области, и комплексный потенциал в этих областях строится проще всего с помощью формул Шварца - Кристоффеля. Рассматривались, однако, только достаточно простые области, потенциал течения в которых выражается через элементарные или эллиптические функции. [19]
Широкое использование функции Q, на плоскости которой односвязные струйные течения с прямолинейными границами изображаются однолистными многоугольниками, и введение параметрической переменной t ( область движения, которую Жуковский и Мичелл принимали за полуплоскость) позволили существенно расширить круг исследованных задач теории струй. Сам процесс отыскания функций w ( t) и Q ( t) проводился Жуковским с помощью искусственного приема ( близкого по существу к методу особых точек Чаплыгина), которому Жуковский дал изящную геометрическую интерпретацию; Мичелл же использовал для решения непосредственно формулу Шварца - Кристоффеля. [20]
Вообще говоря, функция ( t) неизвестна, и формула Чизотти ( 16) не дает эффективного решения задачи конформного отображения. Однако эта формула оказывается полезной всякий раз, когда & ( t) можно найти из каких-либо соображений. Например, в задаче отображения круга на многоугольник ( t) равна известной постоянной на каждой дуге окружности, соответствующей стороне многоугольника, поэтому формула Шварца - Кристоффеля легко получается из формулы Чизотти. [21]
БЬЕРЛИНГА ЗАДАЧА - задача теории минимальных поверхностей, состоящая в нахождении минимальной поверхности, проходящей через заданную незамкнутую аналитич. Решение ее всегда существует, единственно и в явном виде выражается формулой Шварца для минимальных поверхностей. В случае, когда заданная кривая L плоская и является на искомой минимальной поверхности геодезической, плоскость кривой L будет для минимальной поверхности плоскостью симметрии. [22]
Qt cQt, 0 f7 Для области Q0 предполагается известным ее конформное отображение /, на нек-рую канонич. По известному отображению ft области Qt на область каионич. При непрерывном изменении параметра /, на атом пути возникают дифференциальные уравнения, наиболее известными из к-рых являются Левпера уравнение и уравнение Леннера - - Куфареиа. В дискретном случае - для сеточных областей Qt и натурального параметра / - переход от отображения / / к отображению / / IF, P - - - J, осуществляется по рекуррентным формулам. Источником упомянутых формул и уравнений служит обычно формула Шварца ( см. fll с. [23]