Cтраница 2
Формула исчисления предикатов, которая не содержит кванторов, может быть в известном смысле рассмотрена как формула исчисления высказываний и как формула алгебры высказываний. [16]
Можно предположить, что все цифры jf различны между собой. Но после зачеркивания в формуле алгебры высказываний одного из двух одинаковых слагаемых получается формула, эквивалентная прежней. [17]
Формула Щ при любом I выполнима, а отсюда следует, что равносильная ей формула S. & й / также выполнима как формула алгебры высказываний. [18]
Так как предикаты Аг ( х) совер-шенно произвольны, то выражения AI ( XJ) представляют собой произвольные высказывания. Формулу 21 тогда можно рассматривать как формулу алгебры высказываний, у которой Ai ( Xj) являются элементарными переменными высказываниями. [19]
Пусть 91 - формула исчисления предикатов, не со-держащая кванторов. Допустим, что эта формула, рассмотренная как формула алгебры высказываний, является выполнимой. Это значит, что при некоторых значениях переменных высказываний она принимает значение И. Тогда можно так заменить переменные выска зывания и переменные предикаты значениями И и Л, соблюдая условие, что одинаковые высказывания и предикаты заменяются одинаковым образом, что получится формула, принимающая значение И. [20]
Итак, мы показали, что: 1) все аксиомы суть тождественно истинные формулы, 2) применяя к тождественно истинным формулам правила вывода, мы получаем также тождественно истинные формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы исчисления высказываний, рассматриваемые как формулы алгебры высказываний, являются тождественно истинными. В таком случае ясно, что если формула 51 выводима в исчислении высказывании, то формула 51 не может быть выводима, так как 51 - тождественно истинная формула, а 31 тогда, наоборот, принимает значение Л при всех значениях входящих переменных высказываний. Итак, непротиворечивость исчисления высказываний доказана. [21]