Cтраница 2
Если 91 - 33 и 31 - ( 23 - v g) - позитивно тождественные 1 - К-формулы, то каждый конъюнктивный член трансформации формулы Sl-v ( t ( или соответственно сама эта трансформация) является позитивно тождественной импликативной формулой. [16]
Поэтому, если под выводом мы будем понимать вывод с помощью подстановок и схемы заключения, то в качестве системы исходных формул ( аксиом) для вывода всех позитивно тождественных импликативных формул ( и только их) можно будет взять любую систему регулярных импликативных формул, из которой выводятся все регулярные импликативные формулы. [17]
Если 31 и 21 - 33 - позитивно тождественные 1 - К-формулы, то каждый конъюнктивный член трансформации формулы 23 ( или соответственно сама эта трансформация) выводим из позитивно тождественных импликативных формул с помощью схемы заключения и, следовательно, сам является позитивно тождественной импликативной формулой. [18]
Поэтому, если под выводом мы будем понимать вывод с помощью подстановок и схемы заключения, то в качестве системы исходных формул ( аксиом) для вывода всех позитивно тождественных импликативных формул ( и только их) можно будет взять любую систему регулярных импликативных формул, из которой выводятся все регулярные импликативные формулы. [19]
Таким образом, каждая позитивно тождественная 1 - К-формула является тождественно истинной. Действительно, всякая позитивно тождественная импликативная формула ( а потому и конъюнкция таких формул) является тождественно истинной; а кроме того, все операции, из которых состоит переход от формулы к ее трансформации, таковы, что при любом распределении истинностных значений переменных истинностное значение всей формулы в целом остается без изменений. [20]
Сказанное мы дополним в нескольких направлениях. Во-первых, мы дадим более простую характеристику позитивно тождественных импликативных формул. Во-вторых, докажем, что обе только что приведенные системы формул действительно достаточны для вывода всех регулярных, а тем самым и всех позитивно тождественных формул. И, в-третьих, мы распространим понятие позитивно тождественной формулы на формулы исчисления высказываний, строящиеся с помощью импликации и конъюнкции. [21]
Но мы пока не установили, что всякая непосредственно тождественная формула является позитивно тождественной. А кроме того, например, неверно, что любая непосредственно тождественная импликативная формула получается из какой-либо регулярной импликативной формулы в результате подстановки. [22]
Но мы пока не установили, что всякая непосредственно тождественная формула является позитивно тождественной. А кроме того, например, неверно, что любая непосредственно тождественная импликативная формула получается из какой-либо регулярной импликативной формулы в результате подстановки. [23]
Чтобы убедиться в достаточности этой системы формул для вывода всех позитивно тождественных I-K - формул, нам нужно только установить, что по отношению к этой системе ( при использовании подстановок и схемы заключения) схемы формул ( S и ( S2) в их применении к I-K - формулам оказываются выводимыми, а схемы вывода ( S3) и ( S5) - производными. Для схемы ( S5) мы это доказали в § 1; кроме того, там уже было установлено, что из формул I ]) - 3) с помощью подстановок и схемы заключения выводима любая позитивно тождественная импликативная формула. [24]
В результате этого количество импликаций с конъюнкциями во всей данной формуле уменьшится. Эту ( выполняемую в два указанных шага) процедуру надо будет повторить нужное число раз до тех пор, пока в рассматриваемой формуле все импликации не освободятся от конъюнкций, так что результирующая формула либо сама по себе будет импликативной, либо будет представлять собой конъюнкцию импликативных формул. [25]