Cтраница 2
Конечно, в формуле ( 4) можно фактически осуществить умножение матриц и тем самым получить в явном виде выражение элементов матрицы С через углы Эйлера. Мы этого де - лать не будем, поскольку получающиеся формулы в достаточной мере громоздки и практически не запоминаемы. [16]
S ( х) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций. [17]
При выводе формулы () мы считали, что S ( х) есть геометрическая площадь поперечного сечения. Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно доказать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций. [18]
Для вывода такой формулы исследуем более подробно отклонение от идеальности при высоких температурах. Как и в предыдущих параграфах, будем сначала рассматривать одноатомный газ; по тем же соображениям, что и ранее, все получающиеся формулы будут в равной степени применимы н к многоатомным газам. [19]
Для вывода такой формулы исследуем более подробно отклонение от идеальности при высоких температурах. Как и в предыдущих параграфах, будем сначала рассматривать одноатомный газ; по тем же соображениям, что и ранее, все получающиеся формулы будут в равной степени применимы и к многоатомным газам. [20]
Впервые эту формулу получил, по-видимому, Н. И. Лобачевский, который занимался этим вопросом в связи с обработкой наблюдений для проверки гипотезы о том, что сумма углов треугольника, возможно, меньше двух прямых. Но получающаяся формула неудобна для исследования. [21]
Можно показать, что предложенное правило не приводит к ошибкам в формулах, линейных относительно оператора V. Читатель всегда может проверить получающиеся формулы в координатах. [22]
Предположим, что газ не только достаточно разрежен, но и что количество его достаточно мало - так, чтобы можно было считать, что в газе одновременно сталкивается не более одной пары атомов. Такое предположение нисколько не повлияет на общность получающихся формул, ибо в силу аддитивности свободной энергии заранее известно, что она должна иметь вид F-Nf ( T, V / N) ( см. § 24), и потому формулы, выведенные для небольшого количества газа, автоматически справедливы и для любого его количества. [23]
Предположим, что газ не только достаточно разрежен, но и что количество его достаточно мало - так, чтобы можно было считать, что в газе одновременно сталкивается не более одной пары атомов. Такое предположение нисколько не повлияет на общность получающихся формул, ибо в силу аддитивности свободной энергии заранее известно, что она должна иметь вид F Nf ( TV / N) ( см. § 24), и потому формулы, выведенные для небольшого количества газа, автоматически справедливы и для любого его количества. [24]
В частности мы не указываем в общем случае область задания общего решения. Поэтому следует иметь в виду, что хотя получающимися формулами общего решения ( общего интеграла) и можно пользоваться для решения конкретных задач Коши, тем не менее в общем случае нельзя без дополнительных исследований гарантировать, что мы найдем таким путем искомое решение и что оно будет единственным. Чтобы убедиться и в том и в другом, нужно либо исследовать вопрос непосредственно, либо воспользоваться теоремой Пикара. [25]
Далее, можно доказать, что асимптотическое поведение интеграла (12.4) полностью определяется асимптотическим поведением такого же интеграла, в котором ф заменено на г х ( Фактически, если включить в деформацию постоянный член Ур igp i, где gp ] ( а) 1 то асимптотическое поведение останется тем же; затем этот постоянный член можно вынести за знак интеграла и избавиться от него, если угодно. Деформации с постоянными членами нужны, когда мы имеем дело с сильной формой правой эквивалентности, обсуждавшейся в § 5 гл. В данном случае можно использовать обе формы, причем математически это не имеет большого значения, но физически различия в получающихся формулах оказываются важными. [26]