Cтраница 4
Хотя условно истинные формулы и не обладают тождественной истинностью, однако, как легко видеть, в окончательной записи ( условной) выводимости с использованием символа - любая буква может быть заменена произвольной формулой исчисления высказываний, если только такая замена производится одновременно как слева, так и справа от знака выводимости. Замена же лишь в одной части ведет, вообще говоря, к ошибке. [46]
Как видно из приведенных данных, экстраполяция дает величины, правильные по знаку и по порядку, но лишь приближенные к истине, чего и следовало ожидать ввиду упрощенной и до известной степени произвольной формулы. [47]
Взаимно-однозначный переход в какой-либо другой геделевской нумерации формул системы 5 не меняет ситуации, по крайней мере при условии, что этот переход и обратный ему совершаются посредством обще-рекурсивных функций j и х соответственно, переводящих номер произвольной формулы F в старой нумерации в номер этой формулы в новой нумерации и обратно и таких, что имеются термы f и g, нумерически выражающие функции и х соответственно, для которых - g ( t ( d)) a. В самом деле, утверждения ( 0) и I, II и III продолжают выполняться и для новой нумерации, если в качестве формул В0 ( с, а), ЗсВ ( с, а) и термов s ( a, b) и е ( а) выбрать В0 ( с, g ( a)), ЗсВ ( с, g ( a)), f ( s ( g ( a), b)) и f ( e ( g ( a))) соответственно. [48]
Почти столь же просто понять, что ничего другого такие аксиомы не дадут: если пользоваться лишь схемами аксиом ( 1) - ( 11), разрешая брать в них в качестве А, В, С произвольные формулы сигнатуры сг, а в качестве правила вывода использовать modus ponens, то все выводимые формулы будут частными случаями пропозициональных тавтологий. В самом деле, если какая-то подформула начинается с квантора, то в выводе она может встречаться только как единое целое, то есть такая подформула ведет себя как пропозициональная переменная. [49]