Cтраница 3
Группы Шевалле ( как и другие группы типа Ли) имеют единообразное описание в терминах так называемого разложения Брюа этих групп. Хотя оно имеет место для групп Шевалле над произвольными полями, мы ограничимся формулировкой утверждения в конечном случае. [31]
Рассуждения, как правило, ведутся с полными доказательствами. Однако изложение ведется так, что доказательства в общем тг-мерном случае могут быть опущены, но останется не только формулировка утверждения, но и детальное разъяснение того, как в соответствующем случае обстоит дело в двух - и трехмерных случаях. [32]
Рассуждения, как правило, ведутся с полными до-казателылчзами. Однако изложение ведется так, что доказательства в общем n - мерном случае могут быть опущены, но останется не только формулировка утверждения, но и детальное разъяснение того, как в соответствующем случае обстоит дело в двух - и трехмерном случае. [33]
Всюду в этом параграфе мы будем рассматривать фиксированное банахово пространство X над скалярным полем F. Мы не исключаем явным образом случая 0, но большая часть последующих предложений будет в этом случае бессодержательной, и мы не будем отвлекаться на формулировки утверждений и доказательств, относящихся к этому случаю. С), но в менее важных случаях это предоставляется читателю. [34]
Давайте рассмотрим подробно, как все эти понятия работают. Следуя тому, как Стросон на практике применяет слово пресуппозиция, употребление предложения А предполагает предложение В, если истинность предложения В является необходимым условием того, чтобы А успешно использовалось для формулировки утверждения, способного быть либо истинным, либо ложным ( прим. [35]
Суть этого принципа состояла в том, что никакое конечное число эмпирических подтверждений теории не является основанием для признания ее истинности, поскольку не может быть уверенности в том, что в будущем не появятся свидетельства против этой теории. Единственное, что может дать эмпирическая проверка, - это основание для признания теории неверной, когда найдется хотя бы один факт, ее опровергающий. Формулировка утверждений в такой форме, чтобы - опровержение было принципиально возможно, и была объявлена Поп-пером главным признаком научности. Отсюда следует, что все теории в каком-то смысле временные, т.е. они принимаются только до тех пор, пока не будут опровергнуты. [36]
Синтетический характер математического метода проявляется также в выборе аксиом, причем имеются в виду не только математические, но и логические аксиомы. Законы логики - это принципы, которыми руководствуются при умозаключениях и которые дальнейшему анализу на подлежат, в отличие от математических аксиом, подвергающихся логическому анализу. Однако не только наличие аксиом составляет характерную черту теоретической математики. Своеобразие математики кроется в вводимых ею определениях, которые, по существу, сводятся к тому, что вместо определенной комбинации старых символов используется один новый символ. Это позволяет сократить формулировки утверждений, содержащихся в теоремах, которые в противном случае были бы трудно обозримыми. Формализм математического метода основан на том, что в математических рассуждениях разрешается использовать понятия лишь в том смысле, какой вложен в них определением. Приписывать какой-нибудь другой, не содержащийся в определении смысл, запрещается. Более того, из самого определения исключается все то, что может допустить неоднозначное толкование. [37]