Cтраница 3
Система алгебраических уравнений относительно коэффициентов этих полиномов ( приращений узловых перемещений или их скоростей) получается с помощью слабых форм уравнений равновесия ( движения) или вариационных формулировок уравнений. Если МКЭ базируется на вариационной формулировке задачи, то его можно рассматривать как вариант метода Ритца со специальными базисными функциями. Если же МКЭ основывается на принципе возможных перемещений, то его можно рассматривать как вариант метода Бубнова - Галеркина. Развитие теоретических основ МКЭ и потребности практики привели к тому, что в последнее время этот метод широко применяется для решения геометрически и физически нелинейных задач МДТТ. [31]
Уравнение ( 31) относится не только к случаю плоской поверхности раздела, который рассмотрен в настоящей работе. Вывод этого уравнения, основанный на общей вариационной формулировке задачи об электрокапиллярности, будет опубликован впоследствии. Вопрос о том, каким образом в системе уравнений ( 29) можно обобщить члены, обусловленные электростатическими изображениями и локальными свойствами коэффициентов активности, не приходя в противоречие с основными принципами статистической механики, на сегодня остается полностью открытым. [32]
Однако непосредственная проверка показывает, что предложенная Мауэрсбергером форма учета граничных условий на свободной поверхности неверна. Таким образом, вопрос о такой вариационной формулировке задач теории фильтрации, которая была бы эквивалентна задаче о течении со свободной ( неизвестной) поверхностью, до сих пор не решен. [33]
Это равносильно непосредственной подстановке распределения (2.17) в уравнение Колмогорова и последующему приравниванию к нулю коэффициентов при одинаковых степенях переменной и. Совпадение окончательных результатов вычисления плотности вероятности р ( и) подтверждает, что вариационная формулировка задач статистической динамики, основанная на принципе максимума энтропии, соответствует, по крайней мере, постановке задач и основным соотношениям теории марковских процессов. [34]
В последнем параграфе было показано, что если задан вариа ционный принцип для некоторого функционала, то всегда можно получить соответствующее уравнение Эйлера. Однако часто поведение физической системы первоначально описывается дифференциальным уравнением, и тогда представляет интерес попытаться выяснить возможность вариационной формулировки задачи. [35]
Замечание 31.3. Из приведенных выше примеров видно, что один и тот же дифференциальный оператор вида (31.2) можно получить, вообще говоря, различными способами. Эта возможность получать различные разложения рассматриваемого оператора часто оказывается полезной, см. пример 32.8. Впоследствии мы всегда будем брать определеннее разложение рассматриваемого оператора ( подходящее для исследуемой задачи) с тем, чтобы коэффициенты aif ( x) заданного оператора были определены однозначно. В вариационной формулировке задач математической физики разложение рассматриваемого оператора однозначно определяется уравнением Эйлера - Лагранжа, известным из курса вариационного исчисления. [36]
Во второй главе задача расчета термоизоляции сведена к решению соответствующей задачи теплопроводности при принятых условиях теплообмена с окружающей средой или теплоносителем с учетом ( в общем случае) зависимости теплофизиче-ских характеристик термоизоляторов от температуры. Дана математическая формулировка задач теплопроводности в дифференциальной и интегральной ( в частности, в вариационной) формах для теплоизоляционной конструкции в виде неоднородного анизотропного тела произвольной формы, и рассмотрены основные методы решения таких задач. На основе вариационной формулировки задачи теплопроводности построены двойственные оценки таких важных интегральных характеристик теплоизоляционной конструкции, как ее термическое сопротивление, проходящий через нее суммарный тепловой поток, средние температуры поверхностей теплообмена. [37]
В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов: изотропная линейно-упругая, несжимаемая нелинейно-упругая Муни - Ривлина, упругопластическая, термоупругопла-стическая с учетом деформаций ползучести. Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [38]
Решение находим в виде ряда по собственным функциям задачи. Несколько первых собственных значений и соответствующих собственных функций были вычислены с достаточно высокой степенью точности. Если температуру находим в виде разложения по соответствующим ортогональным функциям, то точное решение может быть получено также и с помощью приведенного здесь вариационного метода аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако здесь мы получим только приближенное решение, основанное на вариационной формулировке задачи. [39]