Cтраница 2
Функторы, которые мы определили, часто называют ковариант-ными функторами. [16]
Функтор Ь может быть успешно применен для выражения определений. Авторы Principia Mathematica выражают определения с помощью специального символа, состоящего из знака равенства, который связывает определяющее с определяемым, и букв Df, помещаемых после определения. [17]
Функторы впервые появились в явном виде в алгебраической топологии, где они естественно возникают при описании геометрических свойств посредством алгебраических инвариантов. Например, сингулярная гомология в данной размерности п ( где п - натуральное число) сопоставляет каждому топологическому пространству X абелеву группу Нп ( Х), т.е. n - ю группу гомологии пространства X, а каждому непрерывному отображению топологических пространств /: X - Y - соответствующий гомоморфизм групп Hn ( f): Нп ( Х) - - Hn ( Y), причем Нп оказывается функтором Тор - АЬ. Например, если X Y S1 - окружность, то Hi ( Sl) Z, и гомоморфизм групп Hi ( f): Z - Z определяется целым числом d ( образом единицы); это число - обычная степень непрерывного отображения /: X - Y. В данном случае ( как и в общем) гомотопные отображения f g: X - t - Y дают один и тот же гомоморфизм Нп ( Х) - Hn ( Y), так что Нп в действительности можно рассматривать как функтор Toph - - Grp, определенный на категории гомотопий. Аксиомы гомологии Эйленберга-Стинрода начинаются с утверждения, что Нп при каждом натуральном п является функтором на Toph, и содержат некоторые дополнительные свойства таких функторов. Созданные позднее теории исключительных гомологии и когомологий тоже имеют дело с функторами на Toph. [18]
Функторы естественным образом возникают и в алгебре. [19]
Функтор, который просто забывает частично или полностью структуру алгебраического объекта, обычно называется забывающим ( или стирающим) функтором. [20]
Функтор Т полон, когда каждая такая функция сюръективна, и унивалентен, когда каждая такая функция взаимно однозначна. [21]
Функторы, сопряженные аддитивным, аддитивны. [22]
Функтор П, как правый сопряженный, сохраняет произведения: ПП ( ХПУ) ППХПППУ. [23]
Функтор Т: A - В между абелевыми категориями А и В по определению называется точным, если он сохраняет все конечные пределы и все конечные копределы. [24]
Функтор Т точен слева, если он сохраняет все конечные пределы. Последнее условие равносильно требованию, чтобы Т сохранял короткие левые точные последовательности. [25]
Функтор Т: М - А имеет поточечное правое расширение Кана по К: М - G, если и только если при всех с существует предел для ( с К) - М - А. [26]
Функтор К: М - С коплотен, если и только еслиЫс и тождественное естественное преобразование Ык: К К определяют поточечное правое расширение Кана для К по К. [27]
Функторы У и У 2 изоморфны, если имеется некоторый изоморфизм между ними. [28]
Функторы 2ГА и Ув тогда и только тогда изоморфны, когда изоморфны объекты А и В. [29]
Функтор У называется подфунктором функтора У, если имеется естественное преобразование /: У - ST, в котором все морфизмы / ( А): дГ ( А) - У ( А) являются мономорфизмами. Если каждый раз f ( A) есть эпиморфизм, то ЗГ есть фактор-функтор функтора У. [30]