Cтраница 1
Забывающий функтор U: Rng - Ab сопоставляет каждому кольцу его аддитивную абелеву группу, а каждому морфизму колец /: R - R - то же самое отображение, рассматриваемое как морфизм аддитивных групп. [1]
Забывающий функтор U: Rng - Моп ( забывающий умножение) имеет ( по теореме о сопряженном функторе) левый сопряженный Z, который отображает каждый моноид М в моноидальное кольцо ZM. Пусть П - Mod обозначает категорию левых П - модулей А. [2]
Забывающий функтор Grp - Set создает фильтрованные копределы. [3]
Ковариантный) забывающий функтор U забывает скалярное произведение, а контравариантный функтор переходит к двойственному пространству. [4]
Для многих забывающих функторов из списка в § 4.2 коедини-ца сопряжения е: FU - IA сопоставляет каждому объекту a G А стандартный эпиморфизм еа: F ( Ua) - а, отображающий свободный объект на а. Именно, если правый сопряженный G унивалентен, то каждая коединица сопряжения еа является эпиморфизмом. [5]
Пусть G - забывающий функтор Тор - Set, a J - дискретная категория. [6]
В § 2.7, исходя из забывающего функтора U: Cat -) Grph и графа G, мы построили свободную категорию С над G и морфизм графов Р: G - С / С, который вкладывает G в С. Аналогичное свойство универсальности присуще морфизмам, которые вкладывают порождающие элементы в свободные алгебраические системы других типов - например, группы или кольца. [7]
Например, она обеспечивает существование левого сопряженного для забывающего функтора Grp - Set. Действительно, мы уже знаем, что U создает все пределы ( теорема 3, § 5.1), поэтому категория Grp полна в малом, а функтор U непрерывен. Остается найти разрешающее множество для каждого X Е Set. Каждый элемент из S равен произведению этих образующих и обратных к ним элементов - например, ( / i) 1 ( / X2) 1 ( / xn): L; поэтому для данного X мощность множества S ограничена. [8]
Пусть WQ - монада в категории Set, определяемая забывающим функтором Моп - Set. [9]
Покажите, что в категории cLact существуют копроизведения и их сохраняет забывающий функтор в категорию В. [10]
С помощью теоремы о сопряженном функторе найдите левый сопряженный для каждого из забывающих функторов Rng - Set, Rng - - Ab, Cat - Ab, Cat - Grph. [11]
Покажите с помощью аналогичной конструкции, что в категории Rng факторкольцо R / A кольца R по идеалу А можно рассматривать как коуравнитель, причем полученная вилка расщепляется под действием забывающего функтора в категорию множеств. [12]
Например, монада свободной группы в категории Set - это монада, определенная сопряжением ( F, G, ( р): Set - Grp, где G: Grp - - Set - забывающий функтор. [13]
Пусть в монои-далъной категории В существуют счетные копроизведения, причем для каждого a G В функторы аП - и - П а: 5 - В сохраняют эти копроизведения. Тогда забывающий функтор U: Моп - В имеет левый сопряженный. [14]
При этом композиция унивалентных функторов унивалентна. Например, забывающий функтор Grp - Set унивалентен, но не полон и не является биекцией на объектах. [15]