Cтраница 2
Покажите, что забывающий функтор Comp Haus - Set создает пределы. [16]
Пусть Vct обозначает категорию всех векторных пространств над фиксированным полем К, в которой стрелками являются линейные преобразования. Через U: Vet - - Set обозначим забывающий функтор, который каждому векторному пространству V сопоставляет множество его элементов. [17]
В общем случае эта вилка не расщеплена, но после применения забывающего функтора U: Grp - Set получится расщепленная вилка в категории Set. Этот пример, кстати, показывает, что факторгруппу можно рассматривать как коуравнитель в категории групп. [18]
Теперь мы более подробно изучим роль сопряженных функторов в универсальной алгебре. Для каждого типа алгебр г ( § 5.6) имеется категория Algr всех алгебр данного типа, забывающий функтор G: Algr - Set и его левый сопряженный F, который сопоставляет каждому множеству S свободную алгебру FS типа т, порожденную элементами из S. Эта сопряженность отражается в категории Set; действительно, композиция Т GF - это функтор Set - Set, который сопоставляет каждому множеству S множество всех элементов соответствующей свободной алгебры. С функтором Т связаны и определенные естественные преобразования, которые придают ему структуру монады, напоминающую моноид. [19]
Случай полных булевых алгебр также показывает, что необходимо какое-то условие типа существования разрешающих множеств. Заданное счетное множество D порождает сколь угодно большие полные булевы алгебры ( Solovay [1966]); как следствие, не существует свободной полной булевой алгебры, порожденной множеством D, и потому забывающий функтор Comp Bool - Set не имеет сопряженного слева - хотя он непрерывен, а категория Comp Bool полна в малом. [20]
Каждая категория С превращается в граф UC с теми же объектами и стрелками, если забыть об умножении стрелок и о единицах. Каждый функтор F: С - С является и морфизмом UF: UC - UC между соответствующими графами. В результате определяется забывающий функтор U: Cat - Grph из категории малых категорий в категорию графов. [21]
Покажите, что вложение Haus - Тор не имеет правого сопряженного. Для этого покажите, что коуравнитель отображений хаусдорфовых пространств в категории Тор не обязательно хаусдорфов. Отсюда получите, что забывающий функтор Haus - Set не имеет правого сопряженного. [22]
В этом смысле можно описать конкретную категорию как такую категорию ( 7, где каждый объект наделен множеством-носителем С / с, каждая стрелка /: Ъ - с в действительности является функцией С / 6 - С / с, а композиция стрелок - это композиция функций. Многие из больших категорий, описанных выше, являются конкретными категориями в таком смысле, каждая по отношению к своему очевидному забывающему функтору. Но это неверно в случаях Toph и Rel. Что касается приложений, то понятие категории проще ( и более абстрактно), чем понятие конкретной категории. [23]