Функционал - длина
Cтраница 1
Функционал длины определен на кривых в гладком многообразии Mk. Обычно мы будем рассматривать малую окрестность кривой. Тем самым события переносятся в область fc - мерного евклидова пространства с некоторой римановой ( вообще говоря, неевклидовой) метрикой. Сложение вектор-функций, задающих кривые, производится локально, лишь в окрестности фиксированной кривой. [1]
Рассматривается функционал длины в метрике Якоби. [2]
Экстремалями функционала длины L ( j) являются гладкие траектории j ( t), получающиеся из геодезических произвольными гладкими заменами параметра на них. [3]
В этом разделе мы покажем, что функционал лоренцевой длины дуги является гомотопической функцией Морса для С ( р л при условии, что точки р и q непространственноподобно не сопряжены. [4]
Это является следствием того факта, что риманов функционал длины не обладает свойством полунепрерывности сверху ( хотя он п полунепрерывен снизу) в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах. Более того, если ( М, g) сильно причинно, то из теоремы Хопфа-Ринова и предложения 2.9 вытекает, что d0 ( у ( 0), у ( /)) - оо, когда t - оо. [5]
Для геометрической интерпретации индексной формы полезно ввести функционал, аналогичный функционалу длины дуги для времениподобных геодезических, а именно функционал энергии. [6]
Та равен нулю) совпадают с геодезическими метрики gij ( экстремалями функционала длины L) в их натуральной параметризации. [7]
 |
Эллипс с малым эксцентриситетом почти неотличим от окружности.| Собирание волн в круге и эллипсе. [8] |
Теперь объяснение самого факта второго порядка малости различия: прямая дает минимум функционала длины, поэтому приращение и не может быть первого порядка малости. [9]
Для изучения фокальных точек подмногообразий полезно иметь под рукой формулу второй вариации для функционала длины дуги. [10]
Ранее мы подробно рассмотрели одномерную вариационную задачу на римано-вом многообразии М, связанную с функционалами длины L ( f) и действия E ( j), где 7 С ЭД-МЛр. Важное значение имеют так называемые замкнутые экстремумы, к изучению которых мы сейчас и переходим. [11]
Энергия кусочно-гладкой непространственноподобной кривой у вычисляется при помощи суммирования энергий по интервалам, на которых у является гладкой, в точности так же, как и в формуле (3.1) для функционала длины дуги. [12]
Как теория критических точек функций иа конечномерных многообразиях ( относить ли ее к вариационному исчислению в целом - деле вкуса), так и се бесконечномерный ( уже несомненно вариационный) аналог для функционалов длины и ( или) действия на пространстве путей, соединяющих две заданные точки. [13]
Чтобы показать, что L является гомотопической функцией Морса, необходимо аппроксимировать С ( р, q) подмножеством М ( Р, q, определяемым следующим условием: существует ретракция С ( Р Ч) на M ( p q), увеличивающая функционал длины L. Эго соответствует конечномерной аппроксимации пространства путей в рима-новой теории Морса. Но сначала полезно дать следующее определение. [14]
Геодезический сегмент, реализующий расстояние, как указано в ( 3), называется минимальным геодезическим сегментом. Применяя к функционалу длины дуги методы вариационного исчисления, можно показать, что если Y - Qp, q минимальна, то ее можно перепараметризовать в гладкий геодезический сегмент. [15]
Страницы: 1 2