Функционал - длина
Cтраница 2
Как и в разд. Тогда формула первой вариации для функционала длины дуги может быть получена обычным образом. [16]
Следует выписать уравнения Эйлера для обоих функционалов, затем рассмотреть, что происходит с функционалами при замене параметра ( времени) на экстремалях-решениях. Искомое утверждение следует из того, что функционал длины инвариантен при замене параметра, а функционал действия - не инвариантен. [17]
Пусть ( М, g) - произвольное сильно причинное пространство-время. Пусть L, L и d, d - функционалы длины дуги и лоренцевы функции расстояния на ( N, g) и ( М, g) соответственно. [18]
С - топологии на кривых ( см. Буземан ( 1967, с. Этот факт является аналогом хорошо известного результата, что риманов функционал длины дуги полунепрерывен снизу. [20]
Кроме того, у всех функционалов с условием (4.2.36) индекс Морса любой экстремали как в задаче с закрепленными концами, так и в периодической задаче конечен: 1 ( 7) оо. Учитывая принцип Ферма-Мопертюи - Якоби, мы из приведенных выше примеров обсудили только функционал длины в римановой или финслеровой полной метрике на компактном замкнутом многообразии Мп. Мп) представляют по сути дела бесконечномерные многообразия. [21]
Буземан ( 1967) изучал общие хаусдорфовы пространства, на которых вводилась частичная упорядоченность; причем свойства этой частичной упорядоченности весьма похожи на свойства хронологической частичной упорядоченности р q пространства-времени. Он заметил, что для этого класса недифференцируемых пространств можно определить длину непрерывных кривых, и, более того, функционал длины оказывается полунепрерывным сверху в топологии равномерной сходимости ( см. Буземан ( 1967, с. В частности, он изучал конечную компактность и метрическую полноту времениподобных пространств в духе условий ( 1) и ( 2) теоремы Хопфа-Ринова. [22]
Теорема 9.41. Пусть пространство-время ( М, g) глобально гиперболично и р, q - любая пара точек из ( М, g), связанных отношением р q и таких, что р и q непространственноподобно не сопряжены. Тогда в ( М, g) существует лишь конечное число направленных в будущее времениподобных геодезических из р в q, и функционал длины дуги L: С ( р, q) - R является гомотопической функцией Морса. Поэтому если Ь и а, Ь а, - любые два некритических значения функционала L, то пространство L 1 ( - оо, Ь) гомотопически эквивалентно пространству L 1 ( - оо, а) с приклеенной клеткой для каждой гладкой времениподобной геодезической у из р в q, для которой а L ( y) b, где размерность приклеенной клетки равна ( геодезическому) индексу у. К для каждой гладкой направленной в будущее времениподобной геодезической у из р в q индекса Я. [23]
Для риманова многообразия мы определили геодезические как траектории, вдоль которых параллельный перенос сохраняет поле скоростей траектории. Оказывается, что для геодезических существует еще одна исключительно важная характеристика, которая может также служить определением геодезической. Эта характеристика связана с экстремальными свойствами специального функционала, весьма похожего на функционал длины; геодезические выступают как экстремальные решения этого функционала. [24]
Мы определили геодезические как траектории, вдоль которых параллельный перенос сохраняет поле скоростей траектории. Оказывается, в римановом случае имеется еще одно важное свойство, которое можно взять за определение геодезической. Оказывается, геодезические - это экстремальные траектории для так называемого функционала действия, похожего на функционал длины. [25]
Однако этот метод не вполне корректно работает в классическом контексте поверхностей, так как функционал площади до некоторой степени вырожден. Например, он остается инвариантным при всех диффеоморфизмах В на себя. Чтобы избежать этих трудностей, используется трюк, подобный тому, что используется при изучении геодезических, где функционал длины заменяют одномерным интегралом Дирихле. Эта идея основана на том факте, что критические точки 1-мерного интеграла Дирихле являются также и критическими точками функционала длины, параметризованными параметром, пропорциональным натуральному, и наоборот. [26]
Если ( М, g) является различающим пространством-временем и функция d непрерывна, то ( И, g) причинно непрерывно ( см. гл. Следовательно, для произвольных пространственно-временных многообразий необходимо допускать отсутствие непрерывности и конечности лоренцевой функции расстояния. Тем не менее лоренцева функция расстояния в случае, если она конечна, является полунепрерывной снизу. Это может быть связано с полунепрерывностью сверху в С - топологии лоренцева функционала длины дуги сильно причинных пространств при построении пепро-странственноподобных геодезических реализующих расстояние, в некоторых классах пространственно-временных многообразии ( см. разд. [27]
Однако этот метод не вполне корректно работает в классическом контексте поверхностей, так как функционал площади до некоторой степени вырожден. Например, он остается инвариантным при всех диффеоморфизмах В на себя. Чтобы избежать этих трудностей, используется трюк, подобный тому, что используется при изучении геодезических, где функционал длины заменяют одномерным интегралом Дирихле. Эта идея основана на том факте, что критические точки 1-мерного интеграла Дирихле являются также и критическими точками функционала длины, параметризованными параметром, пропорциональным натуральному, и наоборот. [28]
Пока доказано только то, что минимальные поверхности - экстремали функционала площади; мы не обосновали выбора термина минимальные поверхности. Для одномерного случая такое обоснование было дано: мы доказали, что геодезические - локально минимальные траектории. Для доказательства потребуется дополнительный анализ, так как равенство нулю первой вариации отнюдь не гарантирует локальной минимальности экстремальной точки в пространстве всех радиус-векторов. Даже для обычной функции одного аргумента равенство нулю первой производной еще не позволяет различать точки минимума, максимума, перегиба. Так, в случае геодезических мы были вынуждены предпринять довольно тонкий анализ локальных свойств функционалов длины и действия пути. Причем это были рассмотрения второго порядка, в точности так, как для обычных функций одного аргумента выяснение локального поведения функции около критической точки требует изучения второго дифференциала. [29]
Страницы: 1 2