Стабилизирующий функционал

Cтраница 1

Стабилизирующие функционалы такого вида являются естественным обобщением функционалов Q [ / ], использованных нами в гл. [1]

Стабилизирующий функционал ( стабилизатор) Q [ у ] обычно записывается в виде [30, 659] ( ср. [2]

Выбор стабилизирующего функционала Q [ z ] часто подсказывается характером задачи ( см., например, гл. Однако в ряде случаев выбор его неоднозначен. [3]

Последняя заключается в минимизации стабилизирующего функционала на множестве решений всех задач этого семейства. [4]

Для систем уравнений он заключается в минимизации стабилизирующего функционала в пространстве переменных ( х у), связанных уравнениями решаемой системы и дополнительными ограничениями на вариации исходных данных. Ограничения на исходные данные порождаются информацией об их погрешностях. Для приведенных примеров из [35] мы будем считать, что заданные там значения S являются одновременно известными реализациями у S и оценкой уровня их погрешности. [5]

При рассмотрении множества возможных решений в классе гладких функций стабилизирующий функционал можно брать в пространствах Соболева К. Принадлежность искомого решения множеству дважды непрерывно дифференцируемых на L функций ( pk ( х) е С2), например в случае плоской или о се симметричной задачи, позволяет выбрать стабилизирующий функционал в пространстве W, что обеспечивает при S - О равномерную сходимость самого решения и его первой и второй производных. Здесь необходимо заметить, что при экспериментальных исследованиях, как правило, в задачу входит определение напряжений, а не их производных, так что требования, накладываемые на выбор множества корректности имеющейся априорной информацией, могут быть ослаблены. В большинстве случаев достаточно гарантировать при 6 - 0 равномерную сходимость лишь самого решения, а сходимость производных может быть более слабой. Выбор стабилизирующего функционала в пространстве WjOIPfc OO ljt / 1 / Pk ( x -) ( ф ( Х) А &02 ] Я ( Х)) обеспечивает для искомой функции равномерную, а для производных - среднеквадратичную сходимость. [6]

При рассмотрении множества возможных решений в классе гладких функций стабилизирующий функционал можно брать в пространствах Соболева Iff, a p выбирать из теорем вложения [15] в зависимости от размерности задачи и требуемого порядка гладкости искомого решения. Принадлежность искомого решения множеству дважды непрерывно дифференцируемых на L функций ( Pk () 6 2) например в случае плоской или осе симметричной задачи, позволяет выбрать стабилизирующий функционал в пространстве W, что обеспечивает при 6 - О равномерную сходимость самого решения и его первой и второй производных. Здесь необходимо заметить, что при экспериментальных исследованиях, как правило, в задачу входит определение напряжений, а не их производных, так что требования, накладываемые на выбор множества корректности имеющейся априорной информацией, могут быть ослаблены. В большинстве случаев достаточно гарантировать при 6 - 0 равномерную сходимость лишь самого решения, а сходимость производных может быть более слабой. [7]

Упомянутый выше отбор возможных решений можно осуществлять о помощью стабилизирующих функционалов, и реализуется он следующим образом. [8]

Доказательство существования регуляризирующих операторов, получаемых вариационным способом путем минимизации стабилизирующих функционалов Q [ z ], проводится совершенно аналогично рассмотренному ранее случаю, когда оператор А известен точно. [9]

Пусть множество F принадлежит F, F с: F, и Q [ z ] - стабилизирующий функционал. [10]

Пусть А - непрерывный оператор из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U и Q [ z ] - стабилизирующий функционал, определенный на множестве F с F, порождающий гильбертово пространство F с мажорантной метрикой. [11]

Пусть Ah - непрерывный оператор из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U и Q [ z ] - стабилизирующий функционал, порождающий гильбертово пространство FI с мажорантной метрикой. [12]

В 1980 г. А.Н.Тихонов [15] ( см. также [16]) для систем линейных уравнений с приближенными матрицами предложил новый метод регуляризации, согласно которому решение исходной некорректной задачи заменяется минимизацией стабилизирующего функционала ( критерия отбора) на объединенном множестве решений всех подобных задач с данными, эквивалентными по точности данным исходной задачи. Переход к такой задаче концептуально отличен от упомянутых выше традиционных методов регуляризации. Здесь не вводятся априорное множество корректности или искусственные параметры регуляризации. [13]

Ниже доказывается существование элемента г г ( см. теорему 3), минимизирующего функционал Ма [ z, ue ], для произвольного непрерывного оператора А, действующего из линейного метрического пространства F в метрическое пространство U, и любого стабилизирующего функционала Q [ z ], определенного на множестве F aF, порождающего гильбертово пространство F с мажорантной метрикой. В следующем параграфе рассматриваются условия разрешимости уравнения pv ( Aza, цв) б относительно а. В частности, доказывается однозначная разрешимость его для линейных непрерывных операторов А, если пространство U гильбертово, функционал Q [ г ] при всяком z e FI имеет не равную нулю ( при z т 0) производную Фреше Q [ z ] и &. Таким образом, в этих условиях устанавливается реализуемость метода Лагранжа. [14]

Результаты восстановления касательной нагрузки на торцах цилиндра. [15]

Страницы: 1 2