Cтраница 2
Было рассмотрено несколько вариантов исходных данных, по которым производилось восстановление рг ( х): использовалась информация только об осевых, только о кольцевых и совместно о тех и других напряжениях на наружной поверхности. Стабилизирующие функционалы брались в пространствах L2, W, W, что соответствовало регуляризации 0-го, 1-го и 2-го порядков. Сплошная кривая 1 соответствует точному распределению касательных нагрузок. Кривая 2 является приближенным решением при регуляризации 0-го порядка, а кривая 3 - при регуляризации 1-го порядка. Регуляризация 1-го порядка, как видно из рисунка, обеспечивает практически точное равномерное приближение к искомому решению. Обычно при экспериментальных исследованиях напряжений интересуются самими напряжениями, а не их производными, так что регуляризация 2-го порядка в рассматриваемой задаче является излишней. При использовании минимально необходимой информации только о кольцевых напряжениях характер получаемых решений остается прежним. [16]
Было рассмотрено несколько вариантов исходных данных, по которым производилось восстановление р, ( лс): использовалась информация только об осевых, только о кольцевых и совместно о тех и других напряжениях на наружной поверхности. Стабилизирующие функционалы брались в пространствах L 2, W, Wj, что соответствовало регуляризации 0-го, 1-го и 2-го порядков. Сплошная кривая 1 соответствует точному распределению касательных нагрузок. Кривая 2 является приближенным решением при регуляризации 0-го порядка, а кривая 3 - при регуляризации 1-го порядка. Регуляризация 1-го порядка, как видно из рисунка, обеспечивает практически точное равномерное приближение к искомсгму решению. Обычно при экспериментальных исследованиях напряжений интересуются самими напряжениями, а не их производными, так что регуляризация 2-го порядка в рассматриваемой задаче является излишней. При использовании минимально необходимой информации только о кольцевых напряжениях характер получаемых решений остается прежним. [17]
Функционалы Q [ г ] играют при этом стабилизирующую роль. Поэтому их называют стабилизирующими функционалами или стабилизаторами, соответственно 1-го и гс-го порядков. [18]
Таким образом, нам достаточно указать алгоритмы построения регуляризованных минимизирующих последовательностей. Это удается, сделать путем использования стабилизирующих функционалов Q [ z ], описанных в гл. [19]
Пусть F - линейное метрическое пространство, В - его замкнутое множество и f [ z ] - неотрицательный функционал, определенный и непрерывный на F. Пусть, далее, fi [ z ] - стабилизирующий функционал, определенный на множестве F с F и порождающий на FI гильбертово пространство F с мажорантной метрикой. [20]
Gd элементов z e G, для которых Ф2 ( г) d, компактно, то существование элемента ZQ, реализующего минимум p ( z), очевидно. Однако, как показывает пример, приведенный выше, cp2 ( z) не всегда является стабилизирующим функционалом. [21]
В наших работах [17-19] был предложен новый подход к регуляризации линейных и нелинейных уравнений, неравенств и экстремальных задач, основанный на явной параметризации исходных данных в структуре исследуемых или решаемых задач. Основная регуляризующая задача в сущности повторяла ( в более общих классах задач) идею Тихонова о минимизации стабилизирующего функционала ( критерия отбора) на объединенном множестве решений всех подобных задач с данными, эквивалентными по точности данным исходной задачи. Она решается в произведении пространств искомого решения и исходных данных. При этом одновременно с регуляризацией решается проблема коррекции исходных данных. В результате определяются данные, эквивалентные по точности известной реализации данных и при которых задача разрешима. Решение скорректированной задачи является регуляризованным решением. В работах [20,22,24] этот подход был реализован для некоторых классов экстремальных задач в новом варианте расширенной минимизации исходного функционала на семействе допустимых множеств, определяемых эквивалентными данными. [22]
Как показано в [37] при исследовании метода регуляризации, оценки, получаемые при минимизации (2.73) устойчивы и при неточно известной матрице X. В этом случае минимизируется квадрат расстояния от точки выборки до гиперплоскости регрессии, с использованием для повышения устойчивости стабилизирующего функционала. Выбирая его по ( 2.72, а) или ( 2.72, б) можно формально свести минимизацию (2.73) к случаю квазиортогональной регрессии при плохой обусловленности матрицы С. [23]
Можно указать достаточные условия, при которых элемент Zct - единственный. Это справедливо, например, если оператор А - линейный, F - гильбертово пространство и Q [ z ] - квадратический стабилизирующий функционал. В частности, это справедливо для линейных интегральных уравнений. [24]
При рассмотрении множества возможных решений в классе гладких функций стабилизирующий функционал можно брать в пространствах Соболева Iff, a p выбирать из теорем вложения [15] в зависимости от размерности задачи и требуемого порядка гладкости искомого решения. Принадлежность искомого решения множеству дважды непрерывно дифференцируемых на L функций ( Pk () 6 2) например в случае плоской или осе симметричной задачи, позволяет выбрать стабилизирующий функционал в пространстве W, что обеспечивает при 6 - О равномерную сходимость самого решения и его первой и второй производных. Здесь необходимо заметить, что при экспериментальных исследованиях, как правило, в задачу входит определение напряжений, а не их производных, так что требования, накладываемые на выбор множества корректности имеющейся априорной информацией, могут быть ослаблены. В большинстве случаев достаточно гарантировать при 6 - 0 равномерную сходимость лишь самого решения, а сходимость производных может быть более слабой. [25]
При рассмотрении множества возможных решений в классе гладких функций стабилизирующий функционал можно брать в пространствах Соболева К. Принадлежность искомого решения множеству дважды непрерывно дифференцируемых на L функций ( pk ( х) е С2), например в случае плоской или о се симметричной задачи, позволяет выбрать стабилизирующий функционал в пространстве W, что обеспечивает при S - О равномерную сходимость самого решения и его первой и второй производных. Здесь необходимо заметить, что при экспериментальных исследованиях, как правило, в задачу входит определение напряжений, а не их производных, так что требования, накладываемые на выбор множества корректности имеющейся априорной информацией, могут быть ослаблены. В большинстве случаев достаточно гарантировать при 6 - 0 равномерную сходимость лишь самого решения, а сходимость производных может быть более слабой. Выбор стабилизирующего функционала в пространстве WjOIPfc OO ljt / 1 / Pk ( x -) ( ф ( Х) А &02 ] Я ( Х)) обеспечивает для искомой функции равномерную, а для производных - среднеквадратичную сходимость. [26]
Вторая концепция Тихонова [3,4] заключается в понятии регуляри-зирующего оператора, которое фактически представляет переход к параметризованному семейству разрешимых ( возможно, неединственно) задач, любое решение которых аппроксимирует точное решение исходной задачи. В этом понятии явно сформулировано требование выбора параметра ( параметров) вспомогательной ( регуляризующей) задачи в зависимости от уровня погрешностей данных. Здесь также было введено фундаментальное для всей теории регуляризации понятие стабилизирующего функционала. [27]
Это решение называется ре & уляризо-ванным решением, а числовой параметр а - параметром регуляризации. Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. В работах [8-11] развит вариационный принцип построения регуляризирующих операторов, основанный на понятии стабилизирующих функционалов. В работах [19-21] даны характерные примеры решения прикладных задач методом регуляризации. [28]
Следует отметить, что в то время как исходная задача ( 2; 0 1) не обладает свойством устойчивости, задача минимизации функционала Ма [ z, и ], как было показано, обладает устойчивостью к малым изменениям правой части и. Эта устойчивость была достигнута сужением класса возможных решений с помощью введения в рассмотрение функционала и [ z ] с описанными выше свойствами. Он играет, таким образом, стабилизирующую роль. Поэтому его и называют стабилизирующим функционалом для задачи ( 2; 0 1), или стабилизатором. [29]
При рассмотрении множества возможных решений в классе гладких функций стабилизирующий функционал можно брать в пространствах Соболева К. Принадлежность искомого решения множеству дважды непрерывно дифференцируемых на L функций ( pk ( х) е С2), например в случае плоской или о се симметричной задачи, позволяет выбрать стабилизирующий функционал в пространстве W, что обеспечивает при S - О равномерную сходимость самого решения и его первой и второй производных. Здесь необходимо заметить, что при экспериментальных исследованиях, как правило, в задачу входит определение напряжений, а не их производных, так что требования, накладываемые на выбор множества корректности имеющейся априорной информацией, могут быть ослаблены. В большинстве случаев достаточно гарантировать при 6 - 0 равномерную сходимость лишь самого решения, а сходимость производных может быть более слабой. Выбор стабилизирующего функционала в пространстве WjOIPfc OO ljt / 1 / Pk ( x -) ( ф ( Х) А &02 ] Я ( Х)) обеспечивает для искомой функции равномерную, а для производных - среднеквадратичную сходимость. [30]