Cтраница 1
Опорные функционалы и производные по направлению. Мы видели, что, когда выпуклая функция дифференцируема в точке л: 0, множество опорных функционалов М ( х0) состоит из единственного вектора - ее градиента. В противном случае связь между производными от / ( х) и опорными функционалами более сложна. [1]
Заметим, что опорный функционал всегда слабо полунепрерывен снизу. [2]
К определяется своим опорным функционалом. [3]
Таким образом, понятие опорного функционала обобщает понятие градиента на случай негладких функционалов. [4]
Очевидно, что рк сублинеен и что опорный функционал замкнутой выпуклой оболочки множества К совпадает с рк. Предположим поэтому, что К - замкнутое выпуклое подмножество в X. Будучи поточечным супремумом о ( X, X) - непрерывных функционалов, рк является о ( X, Х) - п.н.с. Эффективная область определения dom ( рк) есть конус в X, который называется барьерным конусом множества К. [5]
В нелинейном программировании большую роль играет понятие опорного функционала. [6]
Во внутренних точках множества С / существование опорного функционала может быть доказано при условиях, отличных от условий предыдущей теоремы. [7]
Вектор а, удовлетворяющий (1.2), называется опорным функционалом ( или субградиентом) функции / в точке х на множестве G. He исключено, что это множество пусто. Оторные функционалы играют центральную роль в теории и численных методах выпуклого программирования, и нужды последующего изложения заставляют нас ознакомиться с ними подробнее. [8]
Вопрос о слабой полунепрерывности снизу также связан с понятием опорного функционала. [9]
Единичная сфера банахова ( пространства называется гладкой в точке л:, если опорный функционал fx в этой точке единствен. Банахово пространство называется гладким, если его единичная сфера - гладкая в каждой точке. [10]
Таким образом, в этом случае множество М ( х0) содержит континуум опорных функционалов. [11]
Как нетрудно видеть, при недифференцируемом функционале Q, когда под V - xQ подразумевается опорный функционал, неравенства (4.19) могут нарушаться. [12]
Если С - выпуклое тело в X, то для любой граничной точки С существует опорный функционал. [13]
Тогда, для того чтобы функционал J ( и) во всех точках v U имел опорный функционал, необходимо и достаточно, чтобы / ( и) был выпуклым на U и для всякой точки v U существовала постоянная L L ( u) 0, такая, что J ( u) J ( v) - L ( v) X Х и - I ll при всех ме. [14]
В дополнение к теореме 3 остановимся еще на других условиях слабой полунепрерывности снизу функционалов - эти условия связаны с понятием опорного функционала. [15]