Cтраница 3
При построении функции последования будем считать, что кривая L задается аналитическим уравнением. В этих предположениях функция последования / ( и) оказывается аналитической, будучи решением аналитического уравнения. [31]
Определите понятие функции последования на гладкой ( и - 1) - мерной поверхности без контакта, если автономная система задана в n - мерном пространстве, и установите связь этой функции с циклами. Допустив, что отображение, определяющее функцию последования, имеет в окрестности неподвижной точки главную линейную часть, сформулируйте достаточные условия устойчивости соответствующего цикла. [32]
Как уже отмечалось, кроме бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода, в принципе возможна такая же последовательность бифуркаций утроения периода. Для систем, описываемых одномерным точечным отображением с функцией последования вида (4.1), эти закономерности подобны закономерностям Фейгенбаума, но с другими константами. [33]
Далее переменные г, ф будем трактовать как полярные координаты в плоско-сти Оугу2, считая г О. Поведение интегральных кривых уравнения (5.4.9) удобно исследовать с помощью так называемой функции последования. [34]
Точечное преобразование обычно выражают в виде функции некоторой координаты точки, лежащей на. Если координату точки Мо обозначить l0, a точки Мх соответственно 1Ъ то к - Т Wo) - График преобразования 10 в 1Х называется функцией последования. С помощью этого графика легко определить последовательность координат точек отрезка DF при движении из различных начальных точек. [35]
Ламерея, построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая 0 с Р 1 показано на рис. 4.38. Рассмотрение случая р 0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. [36]
Этот случай в сущности не отличается от задачи о бифуркации положений равновесия в однопараметрических семействах. У функции последования при этом рождаются или умирают две неподвижные точки. [37]
При построении функции последования будем считать, что кривая L задается аналитическим уравнением. В этих предположениях функция последования / ( и) оказывается аналитической, будучи решением аналитического уравнения. [38]
Функция последования дифференцируема ( по теореме о дифферен-цируемости решения по начальным условиям) и обладает свойством периодичности А ( у 2тг) - А ( у) 2тг; обратное отображение А - г также дифференцируемо. Таким образом, А определяет диффеоморфизм окружности на себя. Можно представлять себе функцию последования как диффеоморфизм меридиана тора в себя, переводящий каждую точку меридиана в следующую точку пересечения интегральной кривой, проходящей через эту точку, с тем же меридианом. [39]
При появлении мультипликатора - 1 замкнутая фазовая кривая гладко зависит от параметра и сама не бифурцирует. Но при этом от нее ответвляется дважды наматывающаяся на нее замкнутая фазовая кривая. Чтобы понять, как это происходит, обратимся опять к функции последования. [40]
Майером [1] были даны практические приемы для разыскания предельных циклов в частных случаях. Здесь уместно отметить, что А. А. Андронов основал и руководит в гор. Горьком целой школой математиков и физиков, разрабатывающих математическую проблему автоколебаний и другие физические и технические проблемы, приводящие к исследованию вопросов качественной теории дифференциальных уравнений. Для этой школы типично либо применение метода функций последования Пуанкаре, либо методов осреднения Ван-дер - Поля. [41]
Основой методов символической динамики является сопоставление траекториям динамической системы бесконечных слов некоторого алфавита. Для этого на секущей поверхности в фазовом пространстве выбирается некоторое разбиение, элементы которого объявляются буквами. Отмечая элементы ( - буквы), в которые траектория попадает, последовательно возвращаясь на секущую поверхность, мы и получаем слово, соответствующее данной траектории. Ясно, что основное отображение секущей поверхности - функция последования - соответствует при этом сдвигу на одну букву влево. [42]