Cтраница 2
В случае, когда все корни уравнения f ( х) 0 - числа мнимые, функция экстремума не имеет. [16]
Нельзя утверждать, что если в некоторой точке производная обратилась в нуль, то в этой точке у функции экстремум. Кроме обращения производной в нуль, мы наложим на функцию еще дополнительное условие. [17]
При решении этого примера читатель усмотрел, что не все значения независимых переменных, которые получаются при решении системы ( 42 1), доставляют функции экстремум. [18]
Так как при х 0 и х О производная остается положительной, то, значит, при переходе через точку х 0 производная знака не изменяет. Отсюда следует, что при х О функция экстремума не имеет. График функции у - х3 ( рис. 62) дает наглядное представление полученного результата. [19]
Если расширить класс рассматриваемых функций f ( x) и допустить, что в отдельных точках двусторонней конечной производной не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек: ведь теорема Ферма утверждает равенство / ( л) 0 лишь в предположении, что существует двусторонняя конечная производная. Следовательно, и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, также могут доставлять функции экстремум. [20]
Поэтому в точке ( 1 0) наша функция имеет локальный минимум. Для точки ( - 1, 0): аи - 6 0, апа22 - 12 - 12 0, поэтому функция экстремума в точке ( - 1 0) не имеет. [21]
Изменение знака производной с - J - на - указывает, что в соответствующей точке функция имеет максимум. Изменение знака производной с - на -) - указывает, что при соответствующем значении х функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то в соответствующей точке функция экстремума не имеет. [22]
Изменение знака производной с - - на - указывает, что в соответствующей точке функция имеет максимум. Изменение знака производной с - на указывает, что при соответствующем значении х функция имеет минимум. Если знак производной не меняется, то в соответствующей точке функция экстремума не имеет. [23]
Рассмотрим, например, функцию и ху. Однако в окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, смотря по тому, в какой четверти берется точка. Стало быть, в точке ( 0, 0) функция экстремума не имеет. Изображающий эту функцию гиперболический параболоид и - ху ( рис. 28, стр 135) имеет в начале координат так называемую точку перевала или седловину. [24]
Так же как и для функций одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что эта точка обязательно является точкой экстремума. Ее частные производные zx y, zy x равны нулю в начале координат, однако функция экстремума не достигает. [25]