Cтраница 2
Эти многочлены называются многочленами Эрмита, а сами функции ф - функциями Эрмита. [16]
Уравнение ( 109 8) представляет уравнение функций, связанных простым соотношением с функциями Эрмита мнимого аргумента. [17]
Я) ехр ( - Я2 / 2) Я ( Я) - функции Эрмита, а Я ( Я) - полиномы Чебышева - Эрмита. [18]
Наметим доказательство того, что ортогональные на промежутке ( - оо, с-0) функции Эрмита образуют полную ( замкнутую) систему. Положим, что существует функция со ( х) из L %, ортогональная ко всем функциям Эрмита. [19]
Следовательно, ее элементы должны, с точностью до числовых множителей, совпадать с функциями Эрмита, которые мы построили в § 3 гл. [20]
Функции tpn ( jc) совпадают ( с точностью до постоянного множителя) с функциями Эрмита Нп ( х) е - 22, где функции Нп ( х) - многочлены Эрмита. [21]
В заключение этой главы, посвященной обобщен-ньш функциям, заметим, что представление в терминах функций Эрмита делает свойства преобразования Фурье почти тривиальными так как оч ев ИДно что преобра-зование Фурье для у ( х) есть ( - г) 4п () Таким обра-зом. Фурье, которое также является обоб-щенной функцией, так как наличие члена ( - t) не влия - т на сх ИМость выражения. [22]
Полиномы / / ( 5) называются обычно полиномами Эрмита, а функции ( 10) - функциями Эрмита. [23]
Распределение поля на зеркалах неустойчивого резонатора Ет ( х) или Epi ( r) в асимптотическом приближении описывается функциями Эрмита - Гаусса или Ла-герра - Гаусса от комплексного аргумента. [24]
Данные выше определения могут быть сделаны менее абстрактными, если использовать метод, развитый в [46], который основан на использовании так называемых функций Эрмита для определения как только правильных, так и обобщенных функций. Развитие этого метода было дано в [45], где, однако, отсутствует сравнение результатов с полученными здесь. [25]
Обратите внимание, что системы функций Лежандра и Чебыше-ва определены на интервале ( - 1 1), следовательно, их целесообразно применять для аппроксимации сигналов ( других функций), определенных на конечном интервале. Системы функций Эрмита, Лагерра определены на интервалах ( - ос, ос) и ( 0, ос) соответственно, поэтому их целесообразно использовать для разложения функций, заданных на бесконечных интервалах. [26]
При этом наш пример подобран так счастливо, что собственными функциями здесь являются функции Эрмита. Хотя к этому выводу можно прийти с помощью вычислений, в нем можно легко убедиться и с помощью чисто теоретических рассуждений. При взгляде на М - уравнение видно, что собственные функции являются шаровыми функциями на и-мерной сфере. Мы имеем дело с сужением функции, а сужение шаровой функции является многочленом Гегенбауера. В пределе, когда га-оо, функции Гегенбауера, соответствующим образом нормированные, известны под названием функций Эрмита. [27]
Наметим доказательство того, что ортогональные на промежутке ( - оо, с-0) функции Эрмита образуют полную ( замкнутую) систему. Положим, что существует функция со ( х) из L %, ортогональная ко всем функциям Эрмита. [28]
При этом наш пример подобран так счастливо, что собственными функциями здесь являются функции Эрмита. Хотя к этому выводу можно прийти с помощью вычислений, в нем можно легко убедиться и с помощью чисто теоретических рассуждений. При взгляде на М - уравнение видно, что собственные функции являются шаровыми функциями на и-мерной сфере. Мы имеем дело с сужением функции, а сужение шаровой функции является многочленом Гегенбауера. В пределе, когда га-оо, функции Гегенбауера, соответствующим образом нормированные, известны под названием функций Эрмита. [29]
Это имеет место и для гармонических колебаний ( см. стр. В отличие от первого случая такая зависимость существует даже при пренебрежении нулевым движением, соответствующим другим нормальным колебаниям. Она является квантово-механической аналогией классического движения по фигурам Лиссажу. Таким образом, в этом случае функция уже не искажается несимметричным образом, а является симметрично искаженной функцией Эрмита ( см. фиг. Зависимость fyv от других нормальных координат также аналогична случаю гармонического осциллятора ( см. стр. Ее можно представить в основном в виде немного искаженной гауссовой кривой ошибок; возможно, что она имеет небольшие, дополнительные минимумы и максимумы. [30]