Cтраница 1
Бэровская функция от измеримых функций измерима. [1]
Бэровские функции являются элементами наименьшего класса, замкнутого относительно операции предельного перехода и содержащего класс непрерывных функций. [2]
Любая бэровская функция от конечного числа случайных величин тоже есть случайная величина. [3]
Дадим бэровским функциям другое ( дескриптивное) определение. Функции, удовлетворяющие этому определению, называются обычно борелевскими. Измеримые функции, отображающие конечномерное борелевское пространство в конечно-мерное борелевское пространство, называются борелевскими функциями. [4]
Под бэровской функцией понимается функция, которая может быть представлена, исходя из полиномов, через после-допателыше итерированные предельные переходи. [5]
Под бэровской функцией понимается функция, которая может быть представлена, исходя из полиномов, через иосле-довательные итерированные предельные переходы. [6]
В W класс бэровских функций тождествен классу функций, измеримых относительно а-алеебры 81 борелевских мно-зкесгпа. [7]
В работе [5] показано, что внешняя колмогоровская мера множества всех бэровских функций второго класса равна 1, и поэтому непротиворечиво считать все случайные траектории функциями второго класса. [8]
В § 2 мы начинали с вполне аддитивных функций интервалов и определяли Р Л [ Е ( 1Д) для каждого множества Л, индикатор А которого есть бэровская функция. Из предыдущего видно, что при такой процедуре вероятность Р Л определена тогда и только тогда, когда А есть борелевское множество. [9]
Пусть - наименьший класс функций, охватывающий все непрерывные функции и содержащий предел любой сходящейся ( необязательно равномерно) последовательности функций, принадлежащих jg; функции, входящие в, называются бэровскими функциями на X. Для того чтобы множество в X было бэровским множеством, необходимо и достаточно, чтобы оно было борелевским, а его характеристическая функция была бэровской функцией. [10]
В соответствии с намеченной в начале этого параграфа программой вероятность множества А полагается теперь, по определению, равной Е ( ] А) для всех множеств, для которых А есть бэровская функция. Для множеств, не обладающих этим свойством, вероятности не определяются. Теперь мы обсудим следствия из данного определения в более общей сюуации произвольного выборочного пространства. [11]
Определим операторы, связанные с этими планами. Каждой бэровской функции f, отображающей S в Л, поставим в соответствие оператор L ( f), отображающий множество M ( S) в себя следующим образом. [12]
Эти рассуждения показывают, что, пока мы имеем дело с какой-либо отдельной случайной величиной X, мы можем забыть о первоначальном выборочном пространстве и делать вид, что вероятностное пространство есть прямая 511 с а-алгеброй борелевских множеств на нем и G мерой, индуцированной посредством функции распределения F. Мы видим, что в 541 класс бэровских функций совпадает с функциями, измеримыми по Борелю. Выбор 5& 1 в качестве выборочного пространства означает, что класс случайных величин совпадает с классом функций, измеримых по Борелю. [13]
Доказательство, ( а) Очевидно, что любая непрерывная функции измерима по Борелю. Далее, эти функции образуют замкнутый класс, тогда как бэровские функции образуют наименьший класс, содержащий все непрерывные функции. Таким образом всякая бэровская функция измерима по Борелю. [14]
Все это тем более парадоксально, что непосредственно перед своим доказательством существования функций в классах классификации Бэра он отверг ввиду неоднозначности рассуждение, при помощи которого существование этих функций устанавливалось на основании метода мощности. Обозначив через Fмножество всех возможных функций действительного переменного на [0,4], а через Е - множество всех бэровских функций, Борель писал по. Оно показывает нам, что определенно имеются функции в F, не принадлежащие Е, но не дает нам средства определить одну из них так, чтобы ее можно было отличить от другой; другими словами так, чтобы два различных лица, когда они говорят об этой функции, были уверены, что они говорят о той же самой функции ( с. [15]