Cтраница 2
На практике описанный процесс нередка обращается. В) точки х и множества Вл такую, что при фиксированном х она является вероятностным распределением, а при фиксированном В - бэровской функцией. При любом заданном вероятностном распределении ji интеграл в (9.8) определяет вероятности подмножеств плоскости вида ( А, В) и тем самым определяет некоторое вероятностное распределение на плоскости. Обычно формулу (9.8) выражают в терминах функций точек. [16]
Пусть - наименьший класс функций, охватывающий все непрерывные функции и содержащий предел любой сходящейся ( необязательно равномерно) последовательности функций, принадлежащих jg; функции, входящие в, называются бэровскими функциями на X. Для того чтобы множество в X было бэровским множеством, необходимо и достаточно, чтобы оно было борелевским, а его характеристическая функция была бэровской функцией. [17]
Доказательство, ( а) Очевидно, что любая непрерывная функции измерима по Борелю. Далее, эти функции образуют замкнутый класс, тогда как бэровские функции образуют наименьший класс, содержащий все непрерывные функции. Таким образом всякая бэровская функция измерима по Борелю. [18]
Новая черта рассматриваемой теории состоит в том, что ( в противоположность случаю дискретного выборочного пространства) не каждое множество имеет вероятность и не каждая функция является случайной величиной. К счастью, эта теоретическая сложность не очень заметна на практике, поскольку можно исходить из интервалов и непрерывных функций и ограничиться соответственно рассмотрением множеств и функций, которые могут быть получены из них посредством элементарных операций и ( возможно, бесконечно многих) предельных переходов. Этим выделяются классы борелевских множеств и бэровских функций. Читатели, которых интересуют больше факты, нежели логические связи, могут не беспокоиться по поводу точных определений ( приводимых в гл. Им разумнее полагаться на собственную интуицию и считать, что все рассматриваемые множества и функции являются хорошими. Приводимые теоремы настолько просты1), что для их понимания достаточно знакомства с элементарным анализом. Изложение является строгим, если условиться, что слова множество и функция сокращенно означают борелевское множество илбэров-ская функция соответственно. [19]
Если в качестве множества X снова взять пространство Ra, а в качестве 5 о-алгебру 93 всех борелевых множеств из Rn, то предыдущее определение приводит к понятию 23-измеримых функций. Из теоремы V.5.4 следует, что все бэровские функции измеримы по Лебегу. [20]
Однако этот подход ведет много дальше. Например, для определения условного математического ожидания E ( Y Xlf X) относительно случайных величин Xlt Xa можно использовать (11.2) без изменений, за тем исключением, что В должно теперь быть произвольным множеством из ст-алгеб-рычй, порожденной Xj и Х2 ( см. гл. Конечно, U должна быть функцией Х1 ( Х2, но мы видели в гл. IV, 4, что класс бэровских функций от пары ( Х1 ( Xz) совпадает с классом всех JS-иэмеримых функций. [21]
Оказывается, что требование равномерной сходимости необязательно, и то же самое определение Е ( и) можно использовать, когда сходимость и. Никаких неприятностей в связи с этим не возникает, поскольку в лебеговской теории интегрирования рассматривается лишь абсолютная интегрируемость. Грубо говоря, исходя из определения (2.4) математического ожидания для простых функций, можно доопределить Е ( и) для произвольных бэровских функций, используя очевидные приближения и переходы к пределу. [22]