Cтраница 2
В самом деле, положим, что ft ( z) и f % ( z) суть две эллиптические функции с одинаковыми периодами 2о и 2о /, имеющие в параллелограме периодов одни и те же полюсы с одинаковыми главными частями. Тогда их разность / j ( z) - / 2 ( z) будет двоякопериодической функцией с периодами 2ш и 2о /, без полюсов, а значит, по доказанной теореме эта разность равняется тождественно постоянному. [16]
Обобщение алгоритма непрерывных дробей развивали многие математики, применявшие его к разнообразным вопросам теории диофантовых приближений, алгебре и др. Решение уравнений степени выше четвертой с помощью эллиптических функций, интегрирование уравнения Ламе с помощью двоякопериодических функций второго рода послужили началом решения как алгебраических, так и дифференциальных уравнений посредством специальных функций. Все это позволяет говорить уже не о школе, а о множестве школ Эрмита. [17]
Мы установили у sn та наличие двух основных периодов: 2 / А и 4 / С, отношение которых является мнимым; все остальные периоды суть линейные комбинации этих периодов с целочисленными коэффициентами. Вообще каждая мероморфная двоякопериодическая функция называется эллиптической. Если 2uj и 2 ( о2 - ее основные периоды ( отношение 2ш2: 2ш1 - мнимое, но не обязательно чисто мнимое число), то параллелограмм, построенный на векторах 2шг и 2ш2, выходящих из любой точки w0, называется параллелограммом периодов эллиптической функции. Значение параллелограмма периода состоит в том, что, изучив в нем поведение эллиптической функции, мы на основании двоякой периодичности буде: знать ее поведение в любом другом параллелограмме, полученном из данного посредством сдвига на вектор, представляющий какой-либо период. Эллиптические функции имеют многие применения в вопросах математики и механики. [18]
Эрмит продолжал исполнять скромные обязанности экзаменатора и репетитора, а его товарищи уже успели получить назначения на должности профессоров Сорбонны, Политехнической школы, Коллеж де Франс. Коллеж де Франс, и в течение двух лет Эрмит читал там математику, пока в штат не был взят Лиувилль. В результате этих лекций Эрмит написал статью, где изложил теорию двоякопериодических функций с новой, оригинальной точки зрения. [19]
В этой работе рассматривается ряд схем протекания потока несжимаемой жидкости через цилиндр при различном расположении клапанов. При этом задача упрощается заменою круглого цилиндра плоскопараллельным течением. Эта работа представляет своеобразный интерес с точки зрения метода исследования. Прямоугольник, представляющий сечение цилиндра, естественно, приводит к применению эллиптических функций, в которых и решается вся задача. Здесь эллиптические функции входят как двоякопериодические функции с некоторым прямоугольником периодов, между тем как в других задачах механики эллиптические функции входят обычно только при посредстве интегралов, и их свойства периодичности в исследовании механических условий не играют никакой роли. Аналогичное замечание, впрочем, относится и к применению эллиптических функций для исследования бипланов. [20]