Cтраница 1
Квазианалитические функции ( Р), как и аналитические функции, становятся вполне определенными индивидуумами, как только они заданы на любом сколь угодно малом интервале. [1]
Математические исследования квазианалитических функций не заполняли, конечно, всего моего времени в Бейпине; напряженная работа чередовалась с периодами, когда я просто с любопытством наблюдал за своеобразной панорамой незнакомой мне жизни Китая. [2]
Рассмотренная только что квазианалитическая функция является регулярно-аналитической за исключением единственной ( действительной) особой точки. Но легко также построить примеры квазианалитических функций, которые не являются ни в одной точке аналитическими и даже не дифференцируемы. [3]
Этому расширенному классу квазианалитических функций могут принадлежать и разрывные функции. [4]
В таком случае квазианалитическую функцию можно получить из степенных ( тэйлоровых) разложений, которые становятся сходящимися в конечных промежутках после надлежащей группировки членов. [5]
Ввиду принципиальной важности теоремы Маркушевича для теории квазианалитических функций ( Р), я считаю не лишним привести здесь ее простое и вполне элементарное доказательство. [6]
Как мы видели, псевдоаналитическое продолжение ( относительно данной последовательности показателей) квазианалитической функции определяется однозначно; но не вполне ясно, справедливо ли обратное утверждение. Поэтому, чтобы продвинуть вперед исследование псевдоаналитических продолжений, нужно было бы ответить положительно или отрицательно на вопрос: может, ли квазианалитическая функция иметь пс ев до аналитическое продолжение, тождественно равное нулю. Другими словами, возможно ли, чтобы ряд многочленов, равномерно сходящийся на отрезке ab, имел квазианалитическую сходимость на части ас отрезка ab, а на части cb стремился к нулю. [7]
Какова бы ни была четная монотонная ( при х () весовая функция Ф ( х) W, если Enf ( х) 1 / Ф ( п) ( п 1), то / ( х) есть квазианалитическая функция. [8]
К этим вопросам относится работа М а р к у ш е в и ч а [12], показавшего из весьма общих соображений, что всякая непрерывная на [ - 1, 1] функция есть сумма двух принадлежащих к классу ( Берн-штейна) ( Р) квазианалитических функций. [9]
Как мы увидим дальше, такие функции принадлежат к более обширному классу функций, из которых каждая, с точки зрения общей теории вещественных функций, должна быть рассматриваема как аналитический индивидуум, вполне определенный в области своего существования теми значениями, которые она принимает в сколь угодно малом промежутке. Эти квазианалитические функции, роль которых в анализе, конечно, не сравнима с ролью аналитических функций, естественно возникают при попытке дать единую классификацию всех вещественных функций, построенную на основе приближения алгебраическими многочленами. [10]
Рассмотренная только что квазианалитическая функция является регулярно-аналитической за исключением единственной ( действительной) особой точки. Но легко также построить примеры квазианалитических функций, которые не являются ни в одной точке аналитическими и даже не дифференцируемы. [11]
Эти пространства, которые, как мы уже говорили, используются в выпуске 3, обладают большой внутренней стройностью, и мы надеемся, что даже их самостоятельное изучение доставит некоторое удовольствие аналитику. Построение и использование этих пространств связано с результатами теории квазианалитических функций и теоремой Фрагмена - Линделефа. Приложения этих пространств к задаче Коши в выпуске - 3 иллюстрируют известное высказывание Адамара о связи между теоремами единственности в задаче Коши, с одной стороны, и теорией квазианалитических функций и общей теорией функций комплексного переменного, с другой. Пространства типа 5 дают естественные рамки для достаточно гибкой теории преобразований Фурье благодаря тому, что при преобразованиях Фурье эти пространства переходят друг в друга; поэтому гл. IV является естественным продолжением гл. III, посвященной преобразованиям Фурье. [12]
Любопытно, что эти приложения были связаны с теми же математическими результатами, из которых родилась теория квазианалитических функций. Таким образом, здесь снова, как и во многих других моих работах, соображения, связанные с конкретными прикладными задачами, привели меня к разработке вопросов, относящихся к некоторым из наиболее абстрактных областей чистой математики. [13]
Как мы видели, псевдоаналитическое продолжение ( относительно данной последовательности показателей) квазианалитической функции определяется однозначно; но не вполне ясно, справедливо ли обратное утверждение. Поэтому, чтобы продвинуть вперед исследование псевдоаналитических продолжений, нужно было бы ответить положительно или отрицательно на вопрос: может, ли квазианалитическая функция иметь пс ев до аналитическое продолжение, тождественно равное нулю. Другими словами, возможно ли, чтобы ряд многочленов, равномерно сходящийся на отрезке ab, имел квазианалитическую сходимость на части ас отрезка ab, а на части cb стремился к нулю. [14]
Эти пространства, которые, как мы уже говорили, используются в выпуске 3, обладают большой внутренней стройностью, и мы надеемся, что даже их самостоятельное изучение доставит некоторое удовольствие аналитику. Построение и использование этих пространств связано с результатами теории квазианалитических функций и теоремой Фрагмена - Линделефа. Приложения этих пространств к задаче Коши в выпуске - 3 иллюстрируют известное высказывание Адамара о связи между теоремами единственности в задаче Коши, с одной стороны, и теорией квазианалитических функций и общей теорией функций комплексного переменного, с другой. Пространства типа 5 дают естественные рамки для достаточно гибкой теории преобразований Фурье благодаря тому, что при преобразованиях Фурье эти пространства переходят друг в друга; поэтому гл. IV является естественным продолжением гл. III, посвященной преобразованиям Фурье. [15]