Cтраница 2
Если дана произвольная непрерывная функция, то естественно поставить такой вопрос: продолжить ее так, чтобы для бесконечной последовательности значений тг, например для ns 2s, порядок величины наилучшего приближения многочленами соответствующих степеней был наименьшим. Но, если функция не квазианалитическая ( Р) г то это условие не определяет продолжения единственным образом. Однако есть еще функции, которые обладают следующим свойством: если мы попытаемся частично их изменить так, чтобы порядок наилучшего приближения не увеличился для некоторой бесконечной последовательности значений п, то существует такая другая бесконечная последовательность значений п, для которой величина наилучшего приближения обязательно возрастает. Этот более широкий класс функций содержит, кроме аналитических функций и квазианалитических функций ( Р), еще квазианалитические функции ( D) Данжуа и Карлемана, которые открыли их, исходя из других соображений. D), которые, согласно определению названных авторов, полностью определяются множеством всех их производных в одной точке, может быть с нашей точки зрения также определен как класс функций, для которых порядок величины наилучшего приближения многочленами всех степеней возможно мал. [16]
Таким образом, теория функций действительного переменного и теория функций комплексного переменного представляют собой две отдельные, хотя и связанные друг с другом математические дисциплины, которые не являются одна развитием другой в том смысле, в каком материал лекций, читаемых на втором курсе университета, является развитием материала, излагаемого на первом курсе, но отражают принципиально отличный подход к вопросу о природе математических величин и о характере возможной зависимости одной величины от другой. Разумеется, за полтораста лет развития эти дисциплины как-то влияли друг на друга. Однако только недавно математики выяснили, что имеется некоторая промежуточная область исследований, в которой могут быть использованы методы обеих указанных дисциплин. А именно, существуют, оказывается, кривые, достаточно гладкие для того, чтобы любая часть такой кривой определяла уже весь ее дальнейший ход, но в то же время недостаточно гладкие для того, чтобы к ним можно было применить классическую теорию функций комплексного переменного. Изучение таких кривых и составляет содержание того, что сейчас называется теорией квазианалитических функций. [17]
Если дана произвольная непрерывная функция, то естественно поставить такой вопрос: продолжить ее так, чтобы для бесконечной последовательности значений тг, например для ns 2s, порядок величины наилучшего приближения многочленами соответствующих степеней был наименьшим. Но, если функция не квазианалитическая ( Р) г то это условие не определяет продолжения единственным образом. Однако есть еще функции, которые обладают следующим свойством: если мы попытаемся частично их изменить так, чтобы порядок наилучшего приближения не увеличился для некоторой бесконечной последовательности значений п, то существует такая другая бесконечная последовательность значений п, для которой величина наилучшего приближения обязательно возрастает. Этот более широкий класс функций содержит, кроме аналитических функций и квазианалитических функций ( Р), еще квазианалитические функции ( D) Данжуа и Карлемана, которые открыли их, исходя из других соображений. D), которые, согласно определению названных авторов, полностью определяются множеством всех их производных в одной точке, может быть с нашей точки зрения также определен как класс функций, для которых порядок величины наилучшего приближения многочленами всех степеней возможно мал. [18]