Cтраница 2
Весьма эффективным для представления I ( t) является использование вейвлетных базисов [2, 3], когда искомая функция I ( t) ищется в виде суммы масштабирующих функций и вейвлетов ( см. Гл. [16]
Отметим, что Т ( о) пропорционально бесконечному произведению я ( 2-а), а не О ( 2-а), так же, как и в (2.30), вейвлет v ( 0 был выражен в виде линейной комбинации масштабирующих функций. [17]
Мы хотим доказать, что последовательность подпространств Vj j G Z образует МРА. Масштабирующая функция 0 должна принадлежать пространству VQ, которое было охарактеризовано в Теоремах ( А. Две характеризации этого пространства легко получаются из приведенных выше теорем. [18]
Пример масштабирующих функций приведен нарис. [19]
Более точно, существует функция ф L2 П L1, такая, что ее сдвиги ( ф ( - - k) k Z) образуют ортонормиро-ванный базис VQ. Эта функция 0, обычно называемая масштабирующей функцией МРА, является определяющим элементом всего построения. [20]
Зададим теперь следующий вопрос: Сколько арифметических операций необходимо для проведения этого анализа. Для установления основных идей сначала предположим, что масштабирующая функция ф имеет компактный носитель. Как мы знаем из (5.7) в этом случае числа а ( ф) и b ( ф) целые. [21]
Предположим теперь, что выбрано п 1, а все остальное определится по ходу изложения. Часть ( б) Теоремы (5.14) описывает процедуру ортонормирования; в частности, там приводится формула для определенной масштабирующей функции 0, соответствующей выбранному п, означающая, что сдвиги ф ( - - К) ( k G Z) масштабирующей функции ф фактически ортонормированы. [22]
Предположим теперь, что выбрано п 1, а все остальное определится по ходу изложения. Часть ( б) Теоремы (5.14) описывает процедуру ортонормирования; в частности, там приводится формула для определенной масштабирующей функции 0, соответствующей выбранному п, означающая, что сдвиги ф ( - - К) ( k G Z) масштабирующей функции ф фактически ортонормированы. [23]
В этом уравнении / j являются сжимающими конгруэнциями евклидовой плоскости. Подобным же образом отображения г - t: ( T &), играющие основную роль в теории вейвлетов, являются сжимающими конгруэнциями вещественной оси. То, что масштабирующая функция должна обладать воспроизводящим свойством (5.12), является, очевидно, очень сильным ограничением при выборе подобной функции. [24]