Cтраница 1
Супергармоническая функция v - w по теореме 2 принимает наименьшее значение на границе области, но там она неотрицательна; следовательно, она неотрицательна и внутри области. [1]
Известно, однако, что супергармоническая функция должна принимать свои минимальные значения на границе; следовательно, р будет становиться меньше р прежде всего на границе. [2]
Соответствующее замечание справедливо и для супергармонических функции. [3]
Очевидно, что теорема верна для супергармонических функций с обратными знаками неравенства. [4]
Брело, в котором 1 является супергармонической функцией. [5]
Выясним некоторые простые свойства суб - и супергармонических функций. Положим, что / ( М) непрерывна в замкнутой области и суб: армоническая внутри области. При этом из ( 172j) непосредственно вытекает, что субгармоническая функция принимает наибольшее значение на контуре. Больше того, она не может иметь внутри максимума, в окрестности которого она непостоянна. Точно так же супергармоническая функция принимает наименьшее значение на контуре. [6]
Близкой к этой постановке является проблема выметания для супергармонических функций. [7]
Мы докажем некоторые предложения о суб - и супергармонических функциях, которые нам будут нужны при решении задачи Дирихле. [8]
Указанное неравенство автоматически выполняется и для любого марковского момента г. Положительная супергармоническая функция называется экс-цессивной. [9]
Сумма двух ( и, следовательно, любого конечного числа) супергармонических функций супергармонична. [10]
Теорема 2.1 позволяет получить сильный принцип максимума для субгармонических функций и сильный принцип минимума для супергармонических функций. [11]
Высказанные в связи с этим идеи Пуанкаре привели к глубокому проникновению в теорию потенциала методов теории функций, связанных с понятиями меры и емкости множеств, с теорией суб - и супергармонических функций, благодаря чему теория потенциала обогатилась новыми обобщениями в постановке и решении ее задач. [12]
Непосредственно из определения Р - меры и свойств супергармонических функций вытекают такие ее свойства. [13]
Заметим, что функция со в общем случае не является плюрисупергармонической, ибо она, вообще говоря, даже не полунепрерывна снизу, а функция со всегда плюрисупергармонична в G. В самом деле, по определению со полунепрерывна снизу в G и остается лишь доказать, что ее сужение на любую комплексную прямую / удовлетворяет неравенству, характеризующему супергармонические функции ( см. Ш I, стр. [14]
Если функция f ( M) - гармоническая функция внутри В, то для всякой точки внутри В в формуле ( 172) имеет место знак равенства [ II; 194 ], и таким образом гармоническая функция есть частный случай субгармонической функции. Определение может быть непосредственно обобщено и на трехмерный случай, только окружности мы должны заменить сферами. Совершенно аналогично определяется супергармоническая функция. [15]