Cтраница 1
Суммирующая функция, обладающая этим свойством, называется линейной. [1]
Во-первых, суммирующая функция s не должна противоречить обычному суммированию сходящихся рядов. [2]
Отношение первообразной суммирующей функции к удельной плотности распределения станет, пожалуй, еще отчетливее, если уяснить себе, что с точки зрения физических фактов предельный переход как при интегрировании, так и при дифференцировании представляет идеализацию и что о не выражает в природе чего-либо точно, что, скорее, вместо интеграла в физической действительности надо, в сущности, образовать только сумму очень многих весьма малых слагаемых, а вместо производной - отношение очень малых приращений. Величины Ах остаются отличными от нуля; предельный переход Aje-0 имеет исключительно математическое значение далеко идущего упрощения, при котором, однако, точность математического представления действительно-заметно не нарушается. [3]
Для обычной суммирующей функции s0 этого не делают. [4]
Во-вторых, для суммирующей функции s, если ее понимать как операцию над рядом, должны соблюдаться некоторые законы операции сложения. [5]
Рассмотрим еще одну суммирующую функцию, отличную как от функции s0, приводящей к обычной сумме ряда, так и от функции sp, приводящей к его сумме по Пуассону - Абелю. [6]
Можно представить себе чрезвычайно много суммирующих функций. Для оправдания своего названия они должны обладать некоторыми свойствами обычных сумм. [7]
Вместе с тем своими свойствами линейности и регулярности суммирующая функция однозначно не определяется. Далее мы рассмотрим несколько суммирующих функций, которые линейны и регулярны, но отличны как от функции s0, так и друг от друга. [8]
Полезно, пожалуй, разобрать еще один пример понятий: суммирующая функция и плотность распределения. В статистике, например, в кинетической теории материи или в статистической биологии эти понятия часто встречаются в форме, в которой характер математической идеализации выступает особенно ясно. Рассмотрим, например, люлекулы газа, заключенного в некотором сосуде, и будем наблюдать их скорость в определенный момент времени. [9]
Заметим, кстати, что когда мы массы рассматриваем как положительные по природе своей величины, суммирующая функция F ( x) непременно монотонно возрастает вместе с л: и, вследствие этого, удельная величина, плотность, не отрицательна. Но, конечно, ничто не мешает нам ввести представление и об отрицательных массах ( например, отрицательное электричество); тогда наши суммирующие функции Р ( х) уже не ограничиваются никакими условиями монотонности. [10]
Как следует из теорем 2 и 4 ( или, что то же самое, из теоремы 5) § 8 главы 2, суммирующая функция s0 является линейной. [11]
Вместе с тем своими свойствами линейности и регулярности суммирующая функция однозначно не определяется. Далее мы рассмотрим несколько суммирующих функций, которые линейны и регулярны, но отличны как от функции s0, так и друг от друга. [12]
U к их суммам s0 ( [ /), а также систематические реконструкции по числу s0 ( U) ряда U, встречающиеся, например, при разложении функций в ряды, позволяют решать, как мы имели возможность убедиться, большое число разнообразных задач. Поэтому есть основания надеяться, что систематическое употребление суммирующих функций, отличных от обычной суммирующей функции s0, также окажется полезным методом. [13]
U к их суммам s0 ( [ /), а также систематические реконструкции по числу s0 ( U) ряда U, встречающиеся, например, при разложении функций в ряды, позволяют решать, как мы имели возможность убедиться, большое число разнообразных задач. Поэтому есть основания надеяться, что систематическое употребление суммирующих функций, отличных от обычной суммирующей функции s0, также окажется полезным методом. [14]
Заметим, кстати, что когда мы массы рассматриваем как положительные по природе своей величины, суммирующая функция F ( x) непременно монотонно возрастает вместе с л: и, вследствие этого, удельная величина, плотность, не отрицательна. Но, конечно, ничто не мешает нам ввести представление и об отрицательных массах ( например, отрицательное электричество); тогда наши суммирующие функции Р ( х) уже не ограничиваются никакими условиями монотонности. [15]