Cтраница 2
При решении уравнений математической физики и краевых задач для них не всегда удается обойтись запасом стандартных элементарных функций. Каждое уравнение порождает класс решений, которые не всегда являются элементарными функциями. При этом среди неэлементарных функций, встречающихся при решении наиболее простых и наиболее важных уравнений, есть функции, появляющиеся многократно, и потому хорошо исследованные и получившие те или иные названия. Такие функции принято называть специальными функциями. Как правило, они являются собственными функциями конкретных задач математической физики. [16]
Принципиально новым моментом является в математическом анализе XVIII века использование комплексных значений независимого переменного. Трудами Эйлера теория элементарных функций комплексного переменного получает полное развитие и завершение к середине XVIII века. Правда, все эти неэлементарные функции рассматриваются им, как правило, только для действительных значений независимых переменных. [17]
Однако в реально встречающихся задачах обычно вопрос ставится иначе. Дается то лько функция F ( x, у); что же касается функции y f ( x), тождественно удовлетворяющей в некотором отрезке уравнению ( 1), то не только дифференцируемость или непрерывность ее, но и самое ее существование не предполагается заранее; напротив, вопрос о том, при каких условиях такая функция существует и обладает теми или другими нужными нам свойствами, и составляет собой главную задачу исследования. Среди многочисленных приемов определения новых неэлементарных функций такое неявное задание функций с помощью уравнений занимает одно из важнейших мест. Совокупность закономерностей, свойственных этому способу задания функций, составляет собой теорию неявных функций, элементам которой и будет посвящена настоящая глава. [18]
Когда-то тот факт, что интеграл, появляющийся при решении той или иной задачи, не берется в элементарных функциях, расценивали чуть ли не как катастрофу. Прежде всего был введен, детально изучен и затабулирован целый ряд неэлементарных функций, через которые можно выразить наиболее важные для приложений интегралы, не выражающиеся элементарно. [19]
Заметим, что это правило верно лишь для элементарных функций. Непрерывность функции в любой точке области определения не гарантируется для неэлементарных функций. Так, функция у [ ж ], хотя и определена на всей числовой прямой, разрывна во всех целых точках. Другая неэлементарная функция, определенная на всей числовой прямой - функция Дирихле - имеет разрыв в каждой точке. [20]
Включив в рассмотрение и логарифмическую функцию, мы сумеем выразить эти интегралы в конечном виде, но не будет ничего удивительного, если другие интегралы останутся еще не берущимися в конечном виде. Для того чтобы сделать и их берущимися, нужно расширить класс основных функций, которыми условились пользоваться. Так в анализе и поступают. Среди неберущихся интегралов выделяют особенно простые и важные и детально изучают определяемые ими неэлементарные функции. Эти новые функции пополняют запас наших средств и делают доступным для интегрирования в конечном виде ряд не интегрируемых в старом смысле функций. [21]