Cтраница 2
В то время как преобразование Якоби переводит изоэнергетические поверхности в плоскости, а линии движения - в прямые, преобразование, порождаемое главной функцией Гамильтона, имеет совершенно другую природу. Оно осуществляется в пределах изоэнергетической поверхности НЕ и носит вырожденный характер. Движение здесь проявляется как следствие того, что преобразование переводит точку в линию, а это в свою очередь вызывается обращением в нуль функционального детерминанта. [16]
Если в формулах ( 64) теори преооразований прикосновения в х и р мы заменим всюду х Xit Pi, Р q соответственно через ai; qit - 6Ь рг, S, то формулы ( 64) перейдут в формулы, определяющие интегралы канонической системы через главную функцию Гамильтона. [17]
Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида; она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждений Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто: задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [18]
Эта схема интегрирования Г амильтона была упрощена и улучшена Якоби. Главная функция Гамильтона должна удовлетворять сразу двум уравнениям в частных производных. Решение этой задачи практически невозможно без более широкой схемы интегрирования, предложенной Якоби. [19]
Кроме того, я должен отметить, что самые дотошные и педантичные люди не называют 5 действием. Его именуют первой главной функцией Гамильтона. [20]
Однако в результате возникает порочный круг: для написания конечных уравнений движения ( закона движения) нужна функция W, а для составления этой функции нужно знать конечные уравнения движения. Определение полного интеграла в виде главной функции Гамильтона для нахождения закона движения непредикативно по отношению к решению с заданными начальными условиями, которое находится с помощью полного интеграла в виде главной функции Гамильтона. [21]
Однако в результате возникает порочный круг: для написания конечных уравнений движения ( закона движения) нужна функция W, а для составления этой функции нужно знать конечные уравнения движения. Определение полного интеграла в виде главной функции Гамильтона для нахождения закона движения непредикативно по отношению к решению с заданными начальными условиями, которое находится с помощью полного интеграла в виде главной функции Гамильтона. [22]
Полученное уравнение носит название уравнения Гамильтона - Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от 7ь -, Яп, t - Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через 5 и называют главной функцией Гамильтона. [23]
Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение W-функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [24]
Через каждую точку многообразия М будет проходить единственная кривая, подчиняющаяся уравнениям Гамильтона. Положения теории преобразований прикосновения показывают, что многообразие М1 получается из многообразия М непрерывно протекающим преобразованием прикосновения. Направляющей функцией этого преобразования является главная функция Гамильтона. [25]
Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение W-функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [26]
В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел главную функцию, тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки. [27]
Якобн можно придать простой геометрический смысл: требуется определить кратчайшие ( геодезические) линии в некотором римановом пространстве. При этом мы фактически получили длину дуги геодезической линии между двумя точками М и N, или, проще говоря, расстояние между точками М и N. Это расстояние, очевидно, является функцией координат qt двух крайних точек М и N. Таким образом, выраженное через координаты двух крайних точек это расстояние и есть главная функция Гамильтона. Очевидно, что любые две точки qlt... [28]