Cтраница 3
Теперь мы распространим определение интеграла Лебега на неограниченные функции любого знака. Как мы увидим, это оказывается возможным не для всех измеримых функций. [31]
Интеграл Лебега - Стилтьеса от ограниченной или неограниченной функции / ( х) по любому ииерижвчУ мшяиевдау можно твпвдв ттредезтитн по опто-обу пгт. [32]
Аналогично определяется равномерная сходимосгь несобственного интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра. [33]
Аналогично определяется равномерная сходимость несобственного интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра. [34]
Аналогично определяется равномерная сходимость и для интеграла от неограниченной функции. [35]
Затем определение интеграла Лебега было распространено на случай неограниченных функций и на случай функций от многих переменных. Были кратко рассмотрены основные свойства интеграла Лебега. В частности, была отмечена полнота пространства L2 квадратично интегрируемых ( на рассматриваемом множестве) функций. Это пространство играет весьма важную роль в функциональном анализе и его приложениях. [36]
В некоторых случаях интеграл Стилтьеса существует и для неограниченных функций / () - Для теории вероятностей рассмотрение таких интегралов представляет значительный интерес ( математическое ожидание, дисперсия, моменты и пр. [37]
В окрестности равновесного нормального межъядерного расстояния и для неограниченной функции 4fdet ylaA p / i / B результате итераций мы фактически получим, что А - - А и что окончательная форма волновой функции согласуется с получаемой в случае с замкнутыми оболочками. Однако если мы существенно увеличим межъядерное расстояние и снова повторим все вычисления, то получим, что А - - а, А - b ( или наоборот); функция Т превращается в функцию, описывающую два отдельных атома. Поэтому дважды занятые в первом приближении орбитали при определенных условиях могут спонтанно расщепляться. Таким образом, наличие у системы четного числа электронов еще не является достаточным условием того, что эта система будет иметь основное состояние с замкнутыми оболочками. В рассмотренном примере причина расщепления очевидна. Функция с замкнутыми оболочками становится совершенно неверной при больших межъядерных расстояниях ( ср. [38]
Интеграл от произвольной измеримой функции определяется аналогично, но неограниченная функция может оказаться пеинтегрируемой. [39]
Оказывается, что оператор (5.18) вполне непрерывен, если такие неограниченные функции ф ( t, s) обладают специальными свойствами. [40]
Поэтому, если мы хотим, чтобы хотя бы некоторые неограниченные функции интегрировались в каком-то смысле, нам необходимо обобщить понятие интеграла. [41]
Однако в математике и математической физике широко используются интегралы от неограниченных функций и интегралы с неограниченными областями интегрирования. Такие интегралы называются несобственными. Для их определения не достаточно одного предельного перехода вида (9.1), требуется еще дополнительный переход по области интегрирования. Именно, первоначальную область интегрирования, где определение (9.1) не годится, заменяют такой подобластью, где оно пригодно; предел интеграла, взятого по этой подобласти, когда она, расширяясь, стремится совпасть с первоначальной областью, называют несобственным интегралом по первоначальной области. [42]
Отсюда видно, что функция г ]) не является неограниченной функцией координат, поскольку этот интеграл должен иметь конечную величину. Принято говорить, что ф должна иметь интегрируемый квадрат. [43]
Ряд свойств, присущих определенным интегралам, распространяется и на несобственные интегралы от неограниченных функций. В частности, для этих несобственных интегралов имеет место обобщение формулы Ньютона - Лейбница. [44]
Величина, бесконечно большая при х - х0, является, конечно, неограниченной функцией при х - ха. [45]