Обыкновенная функция
Cтраница 2
Заметим теперь, что в правой части соотношения ( 1 - 64) первое слагаемое является обыкновенной функцией, вообще говоря, разрывной. [16]
Однако, как было показано фон Нейманом [41], подобные величины не могут быть выражены с помощью обыкновенных функций. Шварца [32], величины, обладающие указанными выше свойствами дельта-функций, были достаточно строго и систематически представлены математиками как обобщенные функции. Здесь же результаты приложения будут использованы для того, чтобы получить точное выражение преобразования Лапласа для единичной функции Хевисайда и ее производных. [17]
Такое рассмотрение не нарушает общности, так как во всех рассматриваемых задачах, в том случае, когда уравнение ( 1 - 118) имеет решение в обыкновенных функциях, получаемое решение в обобщенных функциях сводится к нему. [18]
Равенство ( 1 - 83) является необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнение ( 1 - 77) имело решение у ( t), являющееся обыкновенной функцией. Если условия ( 1 - 83) не выполняются, то такого решения уравнение ( 1 - 77) не имеет. [19]
Прежде чем перейти к фактическим вычислениям, отметим, что все сказанное предполагает, что функции у, х, являющиеся решением уравнения ( 1 - 151), должны быть обыкновенными функциями, так как иначе запись ( 1 - 152) не имела бы смысла. Рассмотрим, какие ограничения следует наложить на коэффициенты полиномов а ( р, a), b ( р, а) для выполнения этого требования. [20]
Действительно, если взять любую из последовательностей, введенных выше для определения 8 ( z - ZQ), и умножить ее на ( z - ZQ), то получим последовательность функций, сходящуюся в обычном смысле к обыкновенной функции, всюду равной нулю. [21]
Помимо чисто дискретных и чисто непрерывных случайных величин иногда встречаются случайные величины смешанного типа, которым отвечает функция F ( х), имеющая скачки, но плавно возрастающая в промежутках между ними, и плотность р ( х), равная сумме обыкновенной функции и линейной комбинации б-функций. В принципе могут существовать также и еще более сложные случайные величины, функция распределения которых содержит слагаемое, являющееся непрерывной ( не имеющей скачков), но не представимой в виде интеграла от своей производной функцией; однако такого рода случайные величины в физических и технических приложениях никогда не встречаются. [22]
Выбранное обозначение Jn указывает на то, что эти функции можно рассматривать как аналоги функций Бесселя. В случае ротатора с ( 5-толчками они с точностью до фазового множителя сводятся к обыкновенным функциям Бесселя. [23]
Частными случаями обобщенных функций являются обыкновенные функции ( это оправдывает название первых. В самом деле, если последовательность сходится ( почти всюду) в обычном смысле к обыкновенной функции, то эту сходимость можно использовать в качестве определения обыкновенной функции. В частности, можно ввести нулевую обобщенную функцию, рассматривая последовательности, сходящиеся почти всюду к нулю. [24]
Поскольку это наши специфические базисные функции, нас не должно волновать, как они устроены на более низком уровне. Можно считать, что доступ к ним осуществляется практически так же, как и к обыкновенным функциям на калькуляторе - простым нажатием кнопки. [25]
 |
Графическое представление задачи на экстремум функционала. [26] |
Второе слагаемое - вторая вариация, которая имеет тот же смысл, что и вторая производная для обыкновенных функций. Последнее слагаемое характеризует вариации высшего порядка малости. [27]
Частными случаями обобщенных функций являются обыкновенные функции ( это оправдывает название первых. В самом деле, если последовательность сходится ( почти всюду) в обычном смысле к обыкновенной функции, то эту сходимость можно использовать в качестве определения обыкновенной функции. В частности, можно ввести нулевую обобщенную функцию, рассматривая последовательности, сходящиеся почти всюду к нулю. [28]
Это и есть общее уравнение чувствительности рассматриваемой системы. В том случае, когда все функции в уравнении ( 1 - 126) достаточно гладкие, уравнение ( 1 - 133) превращается в уравнение в обыкновенных функциях, и от обобщенных производных можно перейти к производным в классическом смысле. В этом случае уравнение ( 1 - 119) является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением с переменными ( возможно, разрывными) коэффициентами. [29]
Несколько иная ситуация складывается, если коэффициенты AI, В [ претерпевают разрывы. При этом аппарат обобщенных функций применим лишь в том случае, когда в произведениях вида ( 1 - 225) б-функцйя или ее производные умножаются на функции, содержащие необходимое число производных. Однако произведение двух обыкновенных функций, претерпевающих разрывы в одинаковых точках, допускается, как это было показано в скалярном случае. На подробностях соответствующих вычислений останавливаться не будем, так как они ясны из приведенных выше примеров. [30]
Страницы: 1 2 3