Cтраница 2
Легко видеть, что уравнением Лагранжа-Эйлера для рассматриваемой вариационной задачи служит уравнение Лапласа. Поэтому если эта вариационная задача имеет решение, то оно и будет служить решением задачи Дирихле. Существование решения вариационной задачи Риман выводил из того, что множество значений интеграла / ( и) ограничено снизу, так как / ( v); 0 и потому имеет конечную нижнюю грань. Как потом показал Вейер-штрасс, это заключение Римана было неправильным; Вейерштрасс привел примеры подобных вариационных задач, которые не имеют решения. Кроме того, Адамар [1] привел пример такой непрерывной функции, заданной па границе круга, которую невозможно распространить непрерывным образом на внутренность круга так, чтобы для получившейся функции v интеграл / ( v) не был расходящимся. Но ошибка Римана была одной из тех творческих ошибок, которые способствуют развитию науки. Позже она была исправлена, и на идее Римана было дано несколько новых решений задачи Дирихле. [16]