Cтраница 2
Дробной рациональной функцией является, например, функция у а / х, выражающая обратную пропорциональную зависимость. Очевидно, что дробная рациональная функция определена при всех значениях х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. [16]
Напомним, что всякая целая рациональная функция интегрируется сразу и приводит при этом снова к целой рациональной функции. Нам нужно поэтому сосредоточить внимание исключительно на дробных рациональных функциях, у которых знаменатель отличен от постоянной. [17]
Дело в том, что всякую дробную рациональную функцию ( если она сама не является правильной дробью) можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной дроби ( см. начало § 5), всякую же правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы так называемых элементарных дробей или, как говорят, разложить на элементарные дроби. Элементарными называются такие дроби, у которых знаменатель - степень линейной функции, а числитель - постоянная, либо знаменатель - степень определенного квадратичного трехчлена, а числитель - линейная функция. [18]
Следующими по сложности после целых рациональных функций ( полиномов) являются дробные рациональные функции. Эти функции могут быть заданы при помощи конечного числа арифметических операций, выполняемых над переменной г и постоянными коэффициентами. При этом операция деления на переменную г должна обязательно быть для того, чтобы дробная рациональная функция не являлась полиномом. [19]
В первой главе мы молчаливо допустили, что элементарные функции непрерывны. Доказательство этого факта теперь очень просто. Прежде всего, функция f ( x) x непрерывна, поэтому и х2 х х непрерывна, как произведение двух непрерывных функций; точно так же непрерывна и всякая целая степень от х, а потому и всякая целая рациональная функция, как сумма непрерывных функций; вместе с тем и всякая дробная рациональная функция, как частное двух непрерывных функций, непрерывна во всяком интервале, в котором знаменатель не обращается в нуль. [20]