Cтраница 1
Вогнуто-выпуклые функции / С и L, определенные на Rm х R, называются эквивалентными, если сЦ / С cli L и с. Например, нижнее и верхнее простые продолжения конечной седловой функции, определенной на непустом выпуклом множестве С X D, эквивалентны. Из свойств оператора замыкания для выпуклых и вогнутых функций с очевидностью следует, что эквивалентные седловые функции должны почти совпадать. [1]
Вогнуто-выпуклые функции, заключенные между с. К, образуют класс эквивалентных замкнутых вогнуто-выпуклых функций, имеющих то же ядро, что и К. [2]
Теорема о вогнуто-выпуклых функциях дает основу для таких ситуаций. Действительно, если воспользоваться ею, то при ограниченных х и i0 седловая точка у L x, ц) будет всегда, когда функции f ( x) и Ф ( х) вогнуты и непрерывны; тогда и L ( x, i) вогнута по х, а по ц в силу линейности-выпукла. [3]
Пусть К - вогнуто-выпуклая функция на 1Ят х Я1П, конечная в точках открытого множества С х D. [4]
Теорема 34.4. Две замкнутые собственные вогнуто-выпуклые функции на Blm x W1 эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же ядро. [5]
Таким образом, L - вогнуто-выпуклая функция на Blm x 31, и, используя теорему 33.1, мы получаем следующий результат. [6]
Теорема 37.6. Пусть К, - замкнутая собственная вогнуто-выпуклая функция на 3lm х 11 и С X D - ее эффективное множество. [7]
Тогда ее нижняя сопряженная К есть замкнутая снизу вогнуто-выпуклая функция на 31т х К-71, а верхняя сопряженная К - замкнутая сверху вогнуто-выпуклая функция на Шт X R-71. Функции / С и К эквивалентны и определяются только классом эквивалентных седловых функций, содержащим К-Если замкнутая вогнуто-выпуклая функция К. [8]
Таким образом, если К ( и, х) ( Fu, х) - вогнуто-выпуклая функция, то F есть бифункция, действующая из 31ге в 31т и получающаяся после применения к К. [9]
Тогда ее нижняя сопряженная К есть замкнутая снизу вогнуто-выпуклая функция на 31т х К-71, а верхняя сопряженная К - замкнутая сверху вогнуто-выпуклая функция на Шт X R-71. Функции / С и К эквивалентны и определяются только классом эквивалентных седловых функций, содержащим К-Если замкнутая вогнуто-выпуклая функция К. [10]
Следствие 33.3.3. Пусть С и D - непустые замкнутые выпуклые множества в IR 1 и П1П соответственно и К, - конечная непрерывная вогнуто-выпуклая функция на CxD. [11]
Значение следствия 37.1.1 для теории минимакса состоит в том, что оно позволяет низвести возможное несовпадение значений sup inf и inf sup до различия между вогнуто-выпуклыми функциями внутри одного класса эквивалентности. [12]
Теорема 37.1. Пусть F - замкнутая выпуклая бифункция, действующая из Ш1 в 01, а функция К принадлежит соответствующему бифункции F классу Q ( F) эквивалентных замкнутых вогнуто-выпуклых функций на R. [13]
Вогнуто-выпуклые функции, заключенные между с. К, образуют класс эквивалентных замкнутых вогнуто-выпуклых функций, имеющих то же ядро, что и К. [14]
Тогда ее нижняя сопряженная К есть замкнутая снизу вогнуто-выпуклая функция на 31т х К-71, а верхняя сопряженная К - замкнутая сверху вогнуто-выпуклая функция на Шт X R-71. Функции / С и К эквивалентны и определяются только классом эквивалентных седловых функций, содержащим К-Если замкнутая вогнуто-выпуклая функция К. [15]