Cтраница 1
Полная аналитическая функция получается путем аналитического продолжения аналитической функции. При этом полная аналитическая функция может оказаться многозначной. [1]
При построении полной аналитической функции в качестве исходного можно взять не множество М элементов, а его подмножество, состоящее из представляющего голоморфную функцию ряда и его круга сходимости. [2]
Для изучения полных аналитических функций многих комплексных переменных и областей, где они определяются в качестве объединения голоморфных функциональных элементов, оказывается удобным рассматривать особые геометрические образы, аналогичные римановым поверхностям. [3]
Как известно, полная аналитическая функция определяется путем аналитического продолжения, которое осуществляется шаг за шагом при помощи рядов Тэйлора. Борелю, Миттаг-Леффлеру, Линделефу и другим авторам удалось получить интересные результаты, заменив сложный процесс аналитического продолжения одной формулой, имеющей смысл в некоторой области. Их метод заменяет цепочку преобразований одного ряда Тэйлора в другой ряд Тэйлора одним преобразованием его в последовательность; это преобразование осуще -, ствляется при помощи матрицы. [4]
При детальном изучении общих и полных аналитических функций естественно возникает необходимость обобщения введенного в § 2 гл. [5]
Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом ( см. [1]); результаты об особых точках ( критерии особых точек, Адамара теорема мультипликационная, Фабри теорема об отношении) и особых линиях ( теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, напр. Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. [6]
По определению мы понимаем под полной аналитической функцией в смысле Вейерштрасса совокупность значений функции, которые соответствуют указанным образом всем правильным точкам. [7]
Ее область определения R называется естественной областью существования полной аналитической функции. [8]
Согласно только что проведенным рассмотрениям естественная область существования R полной аналитической функции F ( z) может быть римановой поверхностью. Отметим, что аналитическое продолжение функции F ( z) за границу Г ее естественной области существования R уже невозможно. В таком случае, по определению правильной точки, внутри круга z - ZQ P ( ZQ) существует некоторая аналитическая функция Ф (), совпадающая с F ( z) в общей части данного круга и области Q. [9]
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ аналитической функции u / ( z) комплексного переменного z - поверхность ft такая, что данная полная аналитическая функция ivf ( z), вообще говоря многозначная, может рассматриваться как однозначная аналитич. [10]
В таких случаях будем говорить, что контур С является естественной границей функции / 0 ( z), Da будем называть областью существования этой функции, а саму функцию - полной аналитической функцией. [11]
Если аналитическая функция fi ( z) первоначально задана в области GI -, то, строя различные цепочки областей, выходящие из области QI, мы можем получить аналитическое продолжение функции fi ( z) на различные области, содержащие область Gi-При этом существенным является понятие полной аналитической функции. [12]
Полная аналитическая функция получается путем аналитического продолжения аналитической функции. При этом полная аналитическая функция может оказаться многозначной. [13]
Рассмотрим всевозможные ее аналитические продолжения по всевозможным цепочкам областей. Такую функцию мы будем называть полной аналитической функцией, а однозначные аналитические функции, из которых она составлена ( продолжения функции / 0 ( z)) - ее ветвями. [14]
Это и означает, что fi ( z) - полная аналитическая функция и Qi - ее естественная область существования. [15]