Cтраница 2
Непустое множество F элементов ( f, D), обладающее тем свойством, что для любых двух его элементов один получается из другого при помощи цепи, все элементы которой принадлежат F, называется общей аналитической функцией. Общая аналитическая функция, содержащая все аналитические продолжения каждого ее элемента, называется полной аналитической функцией. [16]
В каждой точке своей области существования функция F имеет одно или более одного значения. Риман предложил важное обобщение понятия области. Оно позволяет рассматривать полную аналитическую функцию как однозначную на соответствующей поверхности, получившей название риманова поверхность. Приступим к ее построению. [17]
Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справедливой для однозначной аналитической функции. Следовательно, рассмотренные методы можно применять лишь тогда, когда аналитическое продолжение f ( z) функции f ( x) с действительной оси в область, ограниченную контуром интегрирования, является однозначной аналитической функцией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функция F ( z) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости z, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутри его не содержалось точек разветвления функции F ( z), и рассматривать лишь однозначную ветвь f ( z) полной аналитической функции F ( z), являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функции f ( x ] в комплексную область. Эти соображения позволяют распространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько типичных случаев. [18]
Во всех предыдущих рассмотрениях мы фактически основывались на формуле Коши, справедливой для однозначной аналитической функции. Следовательно, рассмотренные методы можно применять лишь тогда, когда аналитическое продолжение f ( z) функции f ( x) с действительной оси в область, ограниченную контуром интегрирования, является однозначной аналитической функцией. В тех же случаях, когда полная аналитическая функция F ( z) оказывается многозначной на полной комплексной плоскости z, надо так выбирать контур интегрирования, чтобы внутри его не содержалось точек разветвления функции F ( z), и рассматривать лишь однозначную ветвь f ( z) полной аналитической функции F ( z), являющуюся непосредственным аналитическим продолжением функции f ( x ] в комплексную область. Эти соображения позволяют распространить рассмотренные выше методы на ряд несобственных интегралов, часто встречающихся в приложениях. Рассмотрим несколько типичных случаев. [19]