Cтраница 2
Равенство ( 6), понимаемое в смысле слабой сходимости в классе кусочно-гладких функций на ( - /, /), называется разложением 6 - функции & ( х0, х) в тригонометрический ряд Фурье. [16]
Сравнение полученного результата с разложениями заданного сигнала f ( x), имеющего вид кусочно-гладкой функции, по тригонометрическому базису (2.86) и системе функций Лежандра (2.85) позволяет заключить, что, как и следовало ожидать, оптимальной оказалась система функций Уолша. [17]
Нахождение решения уравнения (1.1) обычными методами ввиду наличия в граничном условии ( 1.1 1) кусочно-гладкой функции г sin ю затруднено. Но решение достаточно легко может быть найдено с помощью одного из методов операционного исчисления. [18]
Теорема 8.1. Пусть оператор L определен на всей оси - oo z oo, полуограничен и его коэффициенты pk ( х) таковы, что р2п 2 ( х) - кусочно-гладкая функция, а остальные коэффициенты локально суммируемы. [19]
Если имеем многокамерный холодильник, в отдельных камерах которого поддерживаются различные температуры, и, кроме того, имеется внешняя изоляция в грунте вокруг наружных стен его, то в этом общем случае величина 6С представляет собой кусочно-гладкую функцию, равную 60 на участках внешней изоляции. [20]
Но так как ( 3 - изотропная геодезическая, то g ( Р, Р) О, Следовательно, векторные поля вида V ( t) f ( t) P ( t), где /: [ а, Ь ] - R - кусочно-гладкая функция, подчиненная условию / ( а) / ( Ь) 0, всегда располагаются в нулевом пространстве формы /: У ( Р) X V. P) - R, но тем не менее никогда не порождают изотропных сопряженных точек. [21]
Здесь множество nAk представляет собой множество функций, полученных в результате аппроксимации некоторых конечных множеств типа решетчатых функций позиномами или другими аналогичными гладкими функциями в области стоимостных характеристик. Кусочно-гладкая функция на каждом участке ее определения аппроксимирует принципиально отличающееся конструкторское решение, тогда как один ее гладкий участок соответствует различным вариантам одного и того же решения. [22]
В некотором смысле это преобразование аналогично преобразованию осей в теории электрических машин. Кусочно-гладкие функции преобразованных первичных напряжений и токов с римскими индексами подобны выпрямленным напряжениям и токам выпрямителя. [23]
Что нам известно из классического математического анализа о методах решения этой задачи. Допустим, что J ( u) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция на U. Тогда, как известно [126], минимум J ( u) на U может достигаться лишь в тех точках u U, в которых или / ( и) 0, или J ( u) не существует, или / ( а) терпит разрыв, или же, в точках, являющихся граничными для множества U. Такие точки принято называть точками, подозрительными на минимум. Если точки, подозрительные на минимум, найдены, то среди них нужно выбрать те, в которых в самом деле достигается минимум. Для этого обычно исследуется знак производной / ( и) в окрестности подозрительной точки или знак второй производной 1 ( и) в этой точке, если / ( и) существует. В результате такого отбора определяются точки, в которых достигается, вообще говоря, лишь локальный минимум J ( и) на U. Чтобы найти абсолютный минимум J ( и) на U, остается перебрать все точки локального минимума и из них выбрать точку с наименьшим значением функции, если таковая существует. [24]
Условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Равномерную сходимость тригонометрического ряда Фурье мы докажем для непрерывной и кусочно-гладкой функции, удовлетворяющей некоторому дополнительному необходимому условию. Напомним, что функция / ( х) называется непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [ - I, I ], если сама она непрерывна, а ее производная / ( х) кусочно-непрерывна на этом отрезке. [25]
Тем самым промежуток [ О, А ] разбивается в общем случае на полуинтервалы вида ( 6), внутри которых для ветви целесообразны те или иные значения параметра а. Одновременно на [ О, А ] по новой линии h ( х) определяется кусочно-гладкая функция издержек, уже не содержащая в качестве независимого переменного параметра а, оптимальное значение которого автоматически находится в соответствии с построенной системой интервалов. [26]
Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-гладкую функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных ( например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров. [27]
В принципе это высказывание верно, однако обычно полностью решить задачу в приемлемое для практики время не удастся, так как время, необходимое для построения оптимального метода, обычно существенно превосходит время, в течение которого возникает новое, уточненное описание классов рассматриваемых задач. Также надо иметь в виду, что не всегда удается формализовать такое математическое описание класса реальных задач: имеется какое-то качественное представление о классе, имеются неплохие численные методы и интуитивно ясно, что в практическом плане оптимальность методов достигнута; в то же время нет даже четко формализованного описания класса решаемых задач. Например, реально требуется вычислить интегралы от кусочно-гладких функций, однако в течение долгого времени так и не удалось предложить описание множества таких функций, которое соответствовало бы реальной практике вычислений. Точно так же, например, при анализе физических моделей можно описать задачу с помощью сложной системы дифференциальных уравнений и решить эту систему с малой точностью или описать задачу более грубо с помощью простой системы и решить эту систему с большой точностью. [28]