Cтраница 1
Меры Хаара широко используются при исследовании различных функциональных пространств над группами. [1]
G, является интегрируемой относительно меры Хаара на G. Если я - элемент в дуальном пространстве G группы G, определенный классом унитарной эквивалентности представления я, и Gr - носитель регулярного представления группы G в пространстве G, то я - одновременно открытая и замкнутая точка в Gr. [2]
Аналогичные утверждения имеют место и для правых мер Хаара. [3]
Приведем известный пример группы, в которой левые и правые меры Хаара существенно различны. [4]
Таким образом, понятия пренебре-жимости эквивалентны для всех мер Хаара. [5]
Сначала освободимся от необходимости отдельно рассматривать левую и правую меры Хаара. Тогда, как легко видеть, если [ л - левая мера Хаара, то VJLI: х - ц ( х) - правая мера Хаара и обратно. Это позволяет рассматривать только левые меры Хаара. [6]
Так как локальная пренебрежимость означает одно и то же для всех мер Хаара, то то же самое можно сказать об измеримости. [7]
Оказывается, что мера Хаара на G переходит при этом в меру, эквивалентную произведению квазиинвариантной меры на X и меры Хаара на Я. [8]
Если ц - а-конечная инвариантная слева мера на бэровских множествах в локально компактной группе X, то она отличается от меры Хаара ( на бэровских множествах) постоянным множителем. Отсюда, в частности, следует, что на компактных множествах конечна. Если [ А не равна тождественно нулю, то ( X, SQ, ), гДе SQ - класс всех бэровских множеств, представляет собой измеримую группу. [9]
На самом деле можно сказать значительно больше. Произведение двух мер Хаара AI 0A2 называется тривиальным джойнингбм. Если F: ГДСх - Г2 С2 - измеримое сопряжение между ф и ф, отображающее AI на А2, то ясно, что образ меры AI при отображении id xF: F2 Gi - Fi Gi хГ2 2 является нетривиальным джойнингом. [10]
Основными фактами теории мер Хаара являются следующие. [11]
Но есть еще и другая банахова алгебра - алгебра мер М ( G), которая как раз и есть предмет нашего разговора. Определяется она гораздо проще ( не требует меры Хаара), но устроена она гораздо сложнее и изучена гораздо хуже. [12]
Таким образом, для непрерывных эргодических автоморфизмов тора топологическая энтропия равна метрической энтропии относительно меры Хаара. Боуэн [23] доказал следующий, более общий результат. [13]
Приближенное равенство ( 66) станет точным, если мы дополним построение конструкцией Леба. Таким образом, в конечном итоге для бесконечно малых б мы получили интерпретацию формулы ( 60) в терминах полугруппы Q, меры объема А и меры Хаара на группе G. [14]
Сначала освободимся от необходимости отдельно рассматривать левую и правую меры Хаара. Тогда, как легко видеть, если [ л - левая мера Хаара, то VJLI: х - ц ( х) - правая мера Хаара и обратно. Это позволяет рассматривать только левые меры Хаара. [15]