Cтраница 2
В случае кусочно гладких Sm этот вопрос тоже в ряде случаев решен до конца ( [16], [22]), условия, решающие проблему, выражаются, с одной стороны, указанными выше взаимно обратными вложениями на отдельных гладких кусках Sm, а с другой - специальными дополнительными условиями на поведение функций соответствующих классов на стыках этих гладких кусков. Здесь возникают особые затруднения характеристики следа в точках Sm, касательные плоскости к к-рым параллельны осям координат. [16]
Исследование свойств следов функций, точнее, получение обратимой характеристики следов, в общем случае представляет собой весьма трудную задачу, до конца еще не исследованную. Однако некоторые частные, но представляющие интерес в приложениях случаи могут быть исследованы с помощью предлагаемой ниже методики. Так, например, в этой главе будет получена точная ( обратимая) характеристика следов функций, принадлежащих Wp l ( G), на границе Г dG, где 1 р, G - круг на плоскости Е2, Г dG - соответствующая граничная окружность. [17]
В этом случае необходимость условий проверяется возможностью продолжения любой функций, удовлетворяющей граничным условиям, с многообразия Гт на всю область g в заданный класс функций. Важность такой постановки особенно ясна при решении прямыми методами вариационных задач, когда требуется при заданных граничных функциях проверить непустоту рассматриваемого класса. В настоящее время граничные свойства функций, принадлежащих различным функциональным пространствам, наиболее полно исследованы на плоскостях, параллельных координатным. Для общих многообразий получение необходимых и достаточных условий связано с большими трудностями. Ниже исследуются дифференциальные свойства следа для неизо-троппых классов Wp ( g) на плоских многообразиях Гт, а также на многообразиях, которые при помощи инвариантных относительно класса Wp преобразований приводятся к плоскому случаю. Характеристика следа на существенно криволинейной границе будет исследована в следующей главе. [18]