Cтраница 2
Пусть R и Rki - два решения уравнения Янга-Бакстера и индексы пробегают одно и то же множество /, параметризующего базис векторного пространства V. Взяв полную тензорную свертку произведения Я-ок R-ок по всем пересечениям, мы получим число ( D R, R), зависящее от диаграммы и решений R и R. Это число приводит к инварианту зацепления, если выполнены два дополнительных условия. [16]
Следующий за ним § 31 является кульминацией всей этой книги. Он использует, прямо или косвенно, почти весь предшествующий материал. Цель этого параграфа заключается в том, чтобы дать строгое определение инвариантов зацеплений ( и узлов) в. Виттеном в конце 80 - х годов. Однако идеи, на которые опиралось определение Виттена ( представленное на физическом уровне строгости), не имели под собой удовлетворительного математического обоснования. [17]
Сначала R используется для определения представления группы кос р: В - V по естественной формуле p ( bi) Ri, где bi суть стандартные образующие группы Вп. Эта формула действительно задает представление именно потому, что определяющие соотношения группы кос совпадают с уравнениями (32.1), определяющими операторы Янга-Бакстера. Легко показать ( используя теорему Маркова, § 6), что число T ( L) корректно определено и действительно является инвариантом зацеплений. В частности, если простая алгебра Ли, с которой мы начали, есть б1 ( 2 Е), тогда инварианты Джонса ( численные значения полиномов Джонса) могут быть получены таким образом. [18]
Полином Джонса - это далеко не единственный полиномиальный инвариант зацеплений. За полвека до полинома Джонса был открыт полином Александера. Ниже мы перечислим наиболее известные полиномиальные инварианты. Все они являются инвариантами зацеплений и принимают значение 1 на тривиальном узле. Кроме того, каждый из них удовлетворяет соотношению специального вида. Мы перечислим только названия полиномов и определяющие их соотношения. [19]