Cтраница 1
Хаусхолдер исправил определение, одновременно упростив его и сделав более общим. [1]
Алгоритм Хаусхолдера детально изложен в работах [ 30, 95, 961 в терминах линейной алгебры, а также в виде программ на алгоритмическом языке Алгол-60. При этом собственные частоты ( но не собственные формы) моделей, соответствующих исходному и преобразованному динамическим графам, совпадают. [2]
Метод Хаусхолдера позволяет привести матрицу к трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. [3]
Преобразование Хаусхолдера и QL-алгоритм - наиболее эффективные методы для вычисления всех собственных значений и, если необходимо, собственных векторов. Соответствующие процедуры характеризуются большей скоростью в сравнении с процедурой jacobi, особенно когда требуется вычислять только собственные значения. В этом случае оптимальным является сочетание процедур tredl и tqll; если необходима экономия памяти, то процедуру tredl следует заменить процедурой tredS, поскольку в последней исходная симметрическая матрица записана в массиве лишь из Vg п ( я 1) элементов. Процедуры iredl и tql весьма эффективны, если требуется экономия памяти; лишь п2 0 ( п) ячеек памяти необходимо для решения полной проблемы. Ортогональность собственных векторов гарантирована с высокой точностью независимо от распределения собственных значений. [4]
Цель предварительных преобразований Хаусхолдера, которые придают Л0 трехдиагональный вид или форму Хессенберга - сделать каждый шаг Q - алгоритма очень быстрым. [5]
В данном случае матрица Хаусхолдера Я порядка только п - 1, и поэтому она вкладывается в нижний правый угол - матрицы Ul полного порядка. [6]
Обе эти формы получаются с помощью серии вращений в соответствующих плоскостях, но Хаусхолдер нашел новый способ решения той же задачи. [7]
Матрица Q ( а) в общем случае несимметрична, но существует теорема, доказанная Хаусхолдером [1958] и утверждающая, что для любой матрицы М и для любой нормы М больше спектрального радиуса М [ который мы обозначим через л, ( М) ] или равна ему. [8]
Таким образом, все классические численные алгоритмы, такие как метод исключения Гаусса, методы ортогонализации Хаусхолдера или Грама - Шмидта, оптимальны по точности. Истинное значение е-сложности до сих пор неизвестно. [9]
В программе, представленной ниже, сначала исходная матрица будет приведена к двухдиагональной форме с помощью преобразования Хаусхолдера, а затем использован Q / - алгоритм для вычисления сингулярных чисел двухдиагональной матрицы. [10]
В настоящее время наиболее эффективный в вычислительном отношении алгоритм решения проблемы собственных значений симметричных матриц произвольной структуры базируется на методе Хаусхолдера ортогонального подобного приведения анализируемой матрицы к трехдиагональному виду. Трехдиаго-нализация ( п X п) - матрицы А осуществляется на основе неитерационной вычислительной процедуры, состоящей из п - 2 шагов последовательных преобразований подобия исходной матрицы А. [11]
Поэтому оказывается, что первый шаг, состоящий в левом и правом умножении на Р1; имеет такой же вид, как шаги при преобразовании Хаусхолдера. [12]
Все три процедуры tred I, / red 2, tred 3 позволяют привести действительную симметрическую матрицу AJ к симметрической трехдиагональной форме An j с помощью преобразования Хаусхолдера. [13]
Матрица U - 1AU имеет удобный вид для нахождения собственных значений; здесь можно применить Q / J-алгоритм, но мы позволим себе небольшое отступление, чтобы обратить внимание на другие применения преобразования Хаусхолдера. [14]
Когда g ( x) х - f ( x) lf, ( x), итерационный процесс (40.12) представляет собой метод Ньютона. Хаусхолдер описывает [25] другие способы выбора g ( x), обеспечивающие более быструю сходимость, чем метод Ньютона. [15]