Cтраница 1
Вольтерры II рода обладает факториальной сходимостью. [1]
Точное аналитическое решение уравнений Вольтерры II рода возможно, как и для других классов задач, лишь в некоторых частных случаях. [2]
Вторая глава посвящена методам решения уравнений Вольтерры I рода. Анализируются особенности этого класса уравнений и приводятся характерные приложения. Рассматриваются способы преобразования к другим видам уравнений. Излагаются методы квадратур, регуляризации, коллокации, а также операционный метод. [3]
Во всех случаях вместо первоначального уравнения Вольтерры I рода (2.77) получается уравнение второго рода ( вообще говоря, интегродиффе-ренциальное) типа Фредгольма. Таким образом, метод регуляризации Тихонова приводит к утрате вольтерровости, вследствие чего при решении уравнения (2.80), например, методом конечных сумм и разностей получится СЛАУ с заполненной ( положительно определенной), а не треугольной матрицей, в связи с чем потребуется значительно больше затрат машинной памяти при решении на ЭВМ. Тем не менее если машинная память позволяет, то для решения уравнения (2.77) целесообразно использование метода регуляризации Тихонова ( посредством программ tikh I, tikh 2, tikh 3, tikh 4, tikh 5, TIKH 1, TIKH 2, TIKH 3, TIKH 4, TIKH 5 - см. гл. [4]
Имеется значительное количество численных методов решения уравнений Вольтерры II рода. [5]
Известно много постановок задач, сводящихся к уравнениям Вольтерры I рода. Большинство задач является в определенном смысле обратными по отношению к задачам анализа физических объектов и явлений. Примером прямой задачи анализа может служить задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Если для тех же уравнений поставить задачу определения правой части по известному решению, то получим один из примеров обратной задачи. [6]
Специализированные методы применяются для различных частных видов уравнений Вольтерры II рода, в том числе для уравнений с разностными и вырожденными ядрами [127, 362] и уравнений с особенностями. К таким методам можно отнести распространенный на практике операционный метод [236], основанный на использовании преобразования Лапласа с последующим обращением. При этом в ряде случаев возможно получение точного или приближенного аналитического решения, а также применение численных реализаций обратного преобразования. [7]
Одним из путей преодоления трудностей, возникающих при решении уравнений Вольтерры I рода, является преобразование их к уравнениям Вольтерры II рода или обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это допустимо не всегда, но в некоторых случаях возможно и целесообразно. [8]
В первой главе изложены методы решения линейных и нелинейных уравнений типа Вольтерры II рода: методы эквивалентных преобразований к дифференциальным уравнениям, аналитический метод решения посредством резольвенты, методы квадратур и Рунге-Кутты; итерационные методы. Приведены приемы использования преобразований Лапласа для уравнений типа свертки. [9]
Как уже упоминалось, достоинством итерационных методов применительно к линейным уравнениям Вольтерры II рода является их неизбежная сходимость при слабых ограничениях на ядро и правую часть. При решении нелинейных уравнений область сходимости метода простых итераций сужается, а если процесс и сходится, то во многих случаях скорость сходимости может оказаться очень низкой. Основным назначением данного метода является решение нелинейных интегральных уравнений второго рода с постоянными пределами интегрирования ( см. гл. Тем не менее он оказывается полезным и при решении многих задач для уравнений Вольтерры, позволяя значительно ускорить сходимость по сравнению с методом простой итерации или даже по сравнению с более сложными, в том числе специализированными, итерационными методами. [10]
Видим, что интегральные уравнения первого рода с постоянными пределами ( а также уравнения Вольтерры I рода), задача решения которых некорректна ( будем для краткости их называть некорректными уравнениями), встречаются в широком круге прикладных задач, что сделало актуальной разработку эффективных методов их решения. [11]
Справочное пособие содержит новые эффективные методы решения интегральных уравнений: методы типа Рунге-Кутты для уравнений Вольтерры II рода; усовершенствованные алгоритмы квадратур для решения уравнений Вольтерры I и II рода; методы Н - и - регуляризации ( Апарцина, Бакушинского, Денисова, Сергеева, Магницкого, Тихонова); методы с использованием сплайнов и аппроксимирующих полиномов для уравнений Вольтерры и Фредгольма; методы регуляризации для уравнений Фредгольма I рода - генератор РА Бакушинского, метод итеративной регуляризации Морозова, методы Калмана, Винера и др. Кроме того, описаны новые прикладные задачи. Приведены новые, более совершенные, рассчитанные на ЭВМ 3-го поколения программы на АЛГОЛе-60, ФОРТРАНе и ПЛ-1 в виде пакетов. [12]
Таким образом, метод простой итерации при незначительных ограничениях всегда сходится при решении линейных уравнений Вольтерры II рода, скорость сходимости зависит от свойств ядра уравнения. [13]
Одним из путей преодоления трудностей, возникающих при решении уравнений Вольтерры I рода, является преобразование их к уравнениям Вольтерры II рода или обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это допустимо не всегда, но в некоторых случаях возможно и целесообразно. [14]
Выражение (1.35) сводит задачу получения итерированных ядер к вычислению интегрального оператора Вольтерры, а выражение (1.36) представляет собой уравнение Вольтерры II рода, где ядро является функцией одной переменной и совпадает с правой частью. [15]