Cтраница 2
Применение незамкнутых квадратурных формул позволяет построить простые численные алгоритмы решения как линейных, так и нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерры II рода за счет улобного продолжения таблицы значений искомой функции без решения каких-либо уравнений. [16]
Несмотря на то что указанные метод ы предназначены, главным образом, для решения уравнений Фредгольма I рода, они в принципе подходят и для решения уравнения Вольтерры I рода. [17]
Операционный метод, рассмотренный в гл. Вольтерры II рода типа свертки, являясь специализированным, также пригоден для частного случая уравнений Вольтерры I рода (2.3), содержащих разностные ядра. Принципиальные основы метода и основные этапы процедуры решения в данном случае остаются прежними. Отличие заключается в том, что решение уравнения свертки (2.3) операционным методом соответствует непосредственному обращению содержащегося в нем интегрального оператора. [18]
Задача решения уравнения Вольтерры I рода является в определенном смысле промежуточной между задачами решения уравнений Вольтерры II рода ( см. гл. [19]
Отличительная особенность данного класса задач [20] заключается в проведении при их решении исследований на стыке традиционных численных методов и методов решения некорректных задач. С одной стороны, уравнения Вольтерры I рода являются частным случаем уравнений Фредгольма I рода, решение которых представляет собой явно некорректную задачу ( см. гл. С другой стороны, при определенных ограничениях, например при хорошей гладкости ядра и правой части, уравнения Вольтерры I рода относятся к корректно поставленным задачам и допускают непосредственное применение прямых методов, основанных на дискретизации исходного уравнения. Фредгольма, а применение прямой дискретизации исходного уравнения вызывает неустойчивость приближенных результатов решения к ошибкам исходных данных. [20]
Один из методов повышения точности решения уравнений Вольтерры II рода состоит в применении квадратурных формул высокого порядка точности. Следуя [255], рассмотрим эту возможность на примере использования семиточечных формул Ньютона-Котеса замкнутого типа. Для получаемых таким образом алгоритмов требуется задание начальных значений таблицы искомого решения. При этом для нахождения решения в последующих узлах необходимо решить лишь одно нелинейное уравнение. Предполагается, что гладкость функций f ( х) и К ( х, s, у) допускает применение соответствующих квадратурных формул. [21]
В результате исследований и практического опыта был найден третий путь, состоящий в использовании регуляризирующих свойств приемов дискретизации и позволяющий благодаря этому совместить достоинства первых двух подходов - помехоустойчивость методов регуляризации и простоту алгоритмов прямых методов дискретизации. Следует отметить, что и это направление в области методов решения уравнений Вольтерры I рода не лишено недостатков, поскольку при его реализации нецелесообразно и даже недопустимо применение точных квадратурных формул, а значит, и невозможно существенное повышение точности разрабатываемых конкретных методов. [22]
Задача решения уравнения Вольтерры I рода является в определенном смысле промежуточной между задачами решения уравнений Вольтерры II рода ( см. гл. [23]
Операционный метод, рассмотренный в гл. Вольтерры II рода типа свертки, являясь специализированным, также пригоден для частного случая уравнений Вольтерры I рода (2.3), содержащих разностные ядра. Принципиальные основы метода и основные этапы процедуры решения в данном случае остаются прежними. Отличие заключается в том, что решение уравнения свертки (2.3) операционным методом соответствует непосредственному обращению содержащегося в нем интегрального оператора. [24]
Даже в тех пространствах, где она корректна, например в тройке ( С, У, С ( 1)), имеет место определенная неустойчивость решения. В результате для повышения устойчивости, а значит, и точности решения целесообразно применять при решении уравнения Вольтерры I рода специальные, устойчивые методы. К их числу относятся прэжде всего регулярные методы, большинство из которых ( методы регуляризации, квазирешений, на компакте и др.) изложено в гл. [25]
Переход от интегральных уравнений к дифференциальным возможен лишь в частных случаях, что является следствием высокой универсальности уравнений Вольтерры II рода как формы описания задачи Коши. Одним из таких частных, но распространенных случаев является случай вырожденного ядра (1.3), когда уравнение (1.1) принимает вид (1.4) и может быть сведено к дифференциальному уравнению. Такой переход может быть целесообразным как при математической постановке задач, так и при их решении, поскольку методы решения дифференциальных уравнений хорошо разработаны и широко применяются. [26]
Отличительная особенность данного класса задач [20] заключается в проведении при их решении исследований на стыке традиционных численных методов и методов решения некорректных задач. С одной стороны, уравнения Вольтерры I рода являются частным случаем уравнений Фредгольма I рода, решение которых представляет собой явно некорректную задачу ( см. гл. С другой стороны, при определенных ограничениях, например при хорошей гладкости ядра и правой части, уравнения Вольтерры I рода относятся к корректно поставленным задачам и допускают непосредственное применение прямых методов, основанных на дискретизации исходного уравнения. Фредгольма, а применение прямой дискретизации исходного уравнения вызывает неустойчивость приближенных результатов решения к ошибкам исходных данных. [27]
Итерационные методы решения интегральных уравнений вольтеррова вида представляют собой мощный инструмент для теоретических исследований и практических расчетов. Отличительной особенностью итерационных методов является простота вычислительных алгоритмов, что имеет существенное значение при реализации их на ЭВМ. Недостатки данного класса методов заключаются в проблеме сходимости - итерационный процесс должен быть сходящимся, а скорость сходимости высокой. Благодаря особенностям уравнений Вольтерры II рода указанные недостатки для них сказываются в наименьшей мере. [28]