Cтраница 2
Приведение системы ( 18) к виду ( 22) называется прямым ходом метода Гаусса. [16]
Совокупность операций, приводящую исходную систему к виду Dx d, называют обычно прямым ходом метода Гаусса, а совокупность операций по решению системы Dx d - обратным ходом метода Гаусса. [17]
Уравнение ( 4 - 39) не содержит напряжения 02, следовательно, оно соответствует прямому ходу метода Гаусса. [18]
При больших т это число примерно в два раза меньше числа умножений и делений в прямом ходе метода Гаусса. Такое сокращение числа действий объясняется тем, что А - симметричная матрица. Заметим, что данный метод требует т операций извлечения корня. [19]
Совокупность проведенных вычислений, в ходе которых исходная задача преобразовалась к виду ( 2J, называется прямым ходом метода Гаусса. [20]
Преобразование системы (2.1) к виду (2.5) в результате прямого хода метода Гаусса связано с преобразованием матрицы А к треугольному виду, что может быть использовано для вычисления ее определителя. Прямой ход метода Гаусса основан на многократно выполняемой операции сложения элементов одной из строк матрицы с элементами другой строки, умноженными на некоторое число. Известно, что в результате такой операции определитель матрицы не изменяется. Однако при этом может возникнуть необходимость перестановки строк матрицы, чтобы перед началом очередного шага ведущий элемент а - - был отличен от нуля. В результате этой операции изменяется знак определителя. [21]
На втором этапе ( обратный ход) осуществляется последовательное определение неизвестных. Алгоритм прямого хода метода Гаусса включает следующие операции. [22]
Матрица системы (4.11) имеет треугольный вид. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса. [23]
Переход от системы ( I) к эквивалентной ей системе с матрицей ( 2) называют прямым ходом метода Гаусса. [24]
В заключение отметим, что сведение системы ( 6) к системе ( 10) на первом этапе метода Гаусса связано с преобразованием матрицы А к треугольному виду. Это может быть использовано для вычисления ее определителя. Прямой ход метода Гаусса основан на том, что многократно выполняется операция сложения одной из строк матрицы с другой строкой, взятой с некоторым множителем. Известно, что такая операция не меняет определителя. Иногда приходится также переставлять уравнения, чтобы перед началом очередного шага элемент а / Г1 был отличен от нуля. Перестановка строк матрицы меняет знак ее определителя на противоположный. [25]
Другим употребительным способом упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований строк является метод Гаусса. Вычисления распадаются на два этапа. На первом этапе, называемом прямым ходом метода Гаусса, мы выполняем, как и в методе Гаусса-Жордана, г шагов. При выбранном ведущем элементе а - s - й шаг состоит из трех действий: 1) ведущую строку переносим на s - e место; 2) делим эту строку на а -; 3) из каждой строки с номером, большим чем s, вычитаем s - ю строку, умноженную на некоторое число А. Множители А выбираются так, чтобы обратить в 0 все элементы ведущего столбца, расположенные ниже ведущего элемента. Последовательный выбор ведущих столбцов и ведущих элементов совершаем точно так же, как и в методе Гаусса-Жордана. После последнего ( r - го) шага матрица приобретает так называемый ступенчатый вид. [26]
Другим употребительным способом упрощения матрицы с помощью элементарных преобразований строк является метод Гаусса. Вычисления распадаются на два этапа. На первом этапе, называемом прямым ходом метода Гаусса, мы выполняем, как и в методе Гаусса-Жордана, г шагов. При выбранном ведущем элементе ац s - й шаг состоит из трех действий: 1) ведущую строку переносим на s - e место; 2) делим эту строку на а - -; 3) из каждой строки с номером, большим чем s, вычитаем s - ю строку, умноженную на некоторое число Я. Множители К выбираются так, чтобы обратить в 0 все элементы ведущего столбца, расположенные ниже ведущего элемента. Последовательный выбор ведущих столбцов и ведущих элементов совершаем точно так же, как и в методе Гаусса - Жордана. После последнего ( r - то) шага матрица приобретает так называемый ступенчатый вид. [27]
ЛЛ ] ] и вычитая из последующих М - 1 уравнений, мы получаем систему аналогичного вида, но с неизвестными Z. Так осуществляется один шаг исключения. Совокупность М - шагов исключения образует прямой ход метода Гаусса, а затем обычным образом осуществляется обратный ход. [28]
При большом числе нулевых элементов в матрице А целесообразно такое построение алгоритма и программы для метода Гаусса, при котором операции выполняются только с ненулевыми элементами и только эти элементы хранятся в памяти ЦВМ. Это, во-первых, существенно усложняет программу и, во-вторых, может свести на нет возможную экономию памяти и времени расчета, связанную с учетом слабой заполненности исходной матрицы А. Поскольку эффект этого учета может быть значительным, стремятся таким образом построить алгоритм, чтобы обеспечить минимальное возрастание заполненности матрицы Аш в процессе прямого хода метода Гаусса. [29]