Cтраница 2
Конечно, в приведенных неверных решениях ошибки произошли из-за неправильного понимания чертежа, из-за недостаточного геометрического воображения. Однако этих ошибок удалось бы избежать, если бы поступающие не просто использовали факт, видный им из чертежа ( но в действительности неверный), а пытались бы его и строго обосновать. Тогда сразу можно было бы убедиться в том, что этот факт места не имеет. [16]
Леонардо был мало знаком с математикой до встречи с Пацциоли, хотя имел интуитивное понимание пропорций и хорошее геометрическое воображение. Его записные книжки и раньше были заполнены изображениями прямоугольников и кругов, но Пацциоли побудил его к математическому осмыслению понятий, ранее используемых интуитивно. Мартин Кемп, один из биографов Леонардо, отмечает, что Пацциоли стимулировал внезапно появившиеся у Леонардо математические амбиции, обусловившие переориентацию его интересов в направлении, на котором ни один из ученых современников ему не сопутствовал. Леонардо отблагодарил Пацциоли, снабдив рисунками написанную им большую книгу De Divine Proportione ( Божественная пропорция), которая появилась в двух прекрасно оформленных манускриптах в 1498 году. [17]
В геометрических задачах иногда бывает полезно попытаться деформировать заданную конфигурацию так, чтобы она стала более простой, но чтобы искомый элемент при этом не изменялся. Именно такой подход, требующий хорошего геометрического воображения, позволяет нащупать ход решения в следующей задаче. [18]
Довольно часто встречаются задачи, в которых необходимо рассчитать многогранные углы. Обычно задачи такого типа вызывают определенные трудности, связанные с недостаточным геометрическим воображением и неумением нарисовать удобный чертеж. [19]
Довольно часто встречаются задачи, в которых необходимо рассчитать многогранные углы. Обычно задачи такого типа вызывают определенные трудности, связанные с недостаточным геометрическим воображением и неумением нарисовать удобный чертеж. В то же время все элементы трехгранного угла без особых затруднений определяются с помощью тригонометрии, исходя из простых геометрических соображений. [20]
Довольно часто встречаются задачи, в которых необходимо рассчитать многогранные углы. Обычно задачи такого типа вызывают определенные трудности, связанные с недостаточным геометрическим воображением и неумением нарисовать удобный чертеж. В то же время все элементы трехгранного угла без особых затруднений, определяются с помощью тригонометрии, исходя из простых геометрических соображений. [21]
Я утверждаю, что приведенные цитаты лишь доказывают тот факт, что ни один из тех математиков так и не удосужился тщательно рассмотреть аккуратно построенную кривую Пеано. Кто-нибудь менее добродушный мог бы сказать, что эти цитаты демонстрируют полное отсутствие геометрического воображения. [22]
В разобранной только что задаче обе возможности, изображенные на рис. 42, были совершенно очевидны. Однако в некоторых задачах дело обстоит не столь просто - нужно проявить достаточную осмотрительность при выполнении чертежа и обладать определенным геометрическим воображением, чтобы увидеть все конфигурации, которые следует рассмотреть. Именно с такой ситуацией мы сталкиваемся в следующей задаче. [23]
Нахождение угла обычно не представляет больших трудностей, поскольку для этого достаточно через точку, лежащую на одной яз данных скрещивающихся прямых, провести прямую, параллельную другой прямой, и тогда задача сводится к определению угла между пересекающимися прямыми и решается планиметрическими методами. Что же касается нахождения кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми, то эта задача вызывает у поступающих в большинстве случаев значительные затруднения, главным образом, из-за слабого геометрического воображения. [24]
Те из них, кто обладал хорошим геометрическим воображением и увидел, что точка L лежит ниже середины ребра СС, смогли построить правильный чертеж и обнаружить ( а затем, разумеется, доказать), что часть куба, лежащая под плоскостью сечения, есть - лежащая на боку усеченная пирамида с основаниями AND и K. Остальные же, поместив точку L выше середины ребра ССЬ получили искаженный чертеж и, естественно, не смогли даже приступить к вычислениям. [25]