Cтраница 2
Здесь мы рассмотрим в дополнение к уравнению ( 1.22 - 3) дальнейшие соотношения симметрии между компонентами восприимчивости для процессов без потерь, основанные на одновременных перестановках тензорных индексов и частот. [16]
Кроме того, из уравнения ( 1.22 - 1) непосредственно видно, что в выражении для х ( п) можно обменивать местами частоты после точки с запятой при одновременной перестановке соответствующих тензорных индексов. [17]
Для этих обозначений будут использоваться латинские и греческие буквы, в то время как соответствующие обычные индексы ( отвечающие компонентам в некоторой фиксированной системе отсчета) выделяются полужирным шрифтом. Строчные латинские буквы соответствуют абстрактным тензорным индексам, заглавные латинские буквы - абстрактным спинорным индексам, а греческие буквы - абстрактным твисторным индексам. Во всех случаях круглые скобки означают симметризацию индексов, заключенных внутри скобок, а квадратные скобки - кососимметризацию. [18]
Элементы пространства обозначим ZM - ( xm, ( Г, 0), где Q, Эр, - набор антикоммутирующих переменных. Индексные обозначения обычные: латинские буквы ( т) обозначают лорен-цев тензорный индекс, греческие буквы ( ц, ji) - лоренцев спи-норный индекс, прописные буквы ( М) обозначают суперпространственный индекс. [19]
Тензорные свойства спектральной плотности W k иногда не важны. Например, если падающий свет полностью поляризован, то спектральные свойства адекватно передаются скалярной функцией, и тензорные индексы в (7.5.24) могут быть опущены. [20]
Введенная нами терминология не привилась в литературе. В настоящее время читателю совсем непривычно, например, что ранг битеа ора отличен от числа его тензорных индексов. В частности, хотя у тензора кривизна четыре индекса, шл его называем битензором второго ранга. [21]
Соответствие (1.6) показывает, как можно заменять тензорные и спинорные компоненты, пользуясь стандартной схемой, но ничего особенного в этом конкретном соответствии нет. С точки зрения абстрактных индексных обозначений1) главное его свойство состоит в том, что каждый абстрактный ( четырехмерный) тензорный индекс приравнивается паре ( двумерных) спинорных индексов, одному штрихованному и одному нештрихованному. [22]
Роль коэффициентов ааь будут играть компоненты тензора e k; но все свойства симметрии обратного и прямого тензоров, разумеется, совпадают. Поскольку в интеграле (96.2) перемножаются значения Е и D лишь в одинаковых точках тела, то перестановка индексов а и b фактически сводится к перестановке только тензорных индексов. [23]
В нелинейной электродинамике оно также приводит к некоторым упрощениям. Поскольку такое преобразование не затрагивает тензорных индексов, ниже для сокращения записи они опущены. [24]
Вследствие свойств симметрии не все из этих величин независимы. Эти свойства, с одной стороны, определяются общими законами природы, например соблюдением временного аспекта причинно-следственной связи ( см. разд. Эти свойства симметрии отображаются в тензорных индексах, которые мы поэтому в дальнейшем будем выписывать в явном виде. [25]
В уравнении (3.19) тензор Umi инвариантен по отношению к группе ортогональных поворотов. Это обстоятельство наводит на мысль, что если аналогично (3.19) разложить градиент деформации, то из него можно выделить некоторую вполне определенную величину, с помощью которой можно осуществить однозначную параметризацию состояния деформации рассматриваемого тела. Необходимо отметить, что градиенты деформации не являются тензорными величинами, поскольку их тензорные индексы k и К связаны с двумя различными координатными системами. [26]
При написании (19.5) учтен принцип причинности: поляризация в данный момент может зависеть только от напряженности поля в предшествующие моменты времени. Функции f ( n) характеризуют память среды о напряженности поля в моменты времени, предшествующие рассматриваемому. Это означает, что действовавшие достаточно давно поля дают пренебрежимо малый вклад в поляризацию среды в данный момент. О затухании / с ростом т говорят как о конечной во временном смысле памяти системы, что связано с наличием диссипативных процессов в среде. Из (19.5) следует, что функции f не меняются при любой перестановке аргументов с одновременной перестановкой соответствующих тензорных индексов. [27]