Cтраница 1
Изложение топологических вопросов ориентировано в сторону гладких многообразий. Доказана теоремп кл; сснфикации диунерньх поверхностей. [1]
Этот параграф посвящен топологическим вопросам теории полуупорядоченных пространств. Почти все содержание главы III может быть перенесено сюда. [2]
Мы встречаемся здесь с примером, когда содержательный топологический вопрос приводит к частному случаю проблемы изоморфизма. [3]
Первые публикации Бляшке и его учеников, носящие подзаголовок Топологические вопросы дифференциальной геометрии, появились в математических журналах в конце 20 - х годов1), - а уже в 1932 г. в США вышла на английском языке первая книга Бляшке на эту тему [6]; она явилась результатом обработки лекций, прочитанных автором летом того же года в Чикаго. [4]
В то же время бывает, что в технической литературе явно поднимаются топологические вопросы; общие теоремы относительно подъема путей равновесия, обсуждавшиеся у Томпсона и Ханта [110], стр. [5]
Изначально возникшие как инструмент для многомерного обобщения теоремы Стокса, дифференциальные формы играют фундаментальную роль в топологических вопросах дифференциальной геометрии. Хотя в этой книге я стремился не придавать особого значения использованию дифференциальных форм, имеется несколько ситуаций ( наиболее заметных в § 5.4 о вариационном комплексе), в которых язык дифференциальных форм исключительно эффективен. Настоящий параграф дает краткое введение в теорию дифференциальных форм для читателя, интересующегося этими более теоретическими аспектами данного предмета. Мы начинаем с основного определения. [6]
До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства изображений ( динамика в малом), топологические вопросы не возникают, и мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга следует в основном традициям математической физики, в которой топологические вопросы являются предметом для исследования ad hoc в частных случаях. [7]
А л е к с а н д р о в а [2, 3, 5] интересны в связи с построенной им топологической теорией меры, а также в связи с некоторыми чисто топологическими вопросами, которые будут рассмотрены ниже. [8]
В обычной динамике мы начинаем рассмотрение с физической системы, которую мы могли бы, если нужно, построить в сфере нашего опыта. Тогда на топологические вопросы относительно пространства конфигураций Q можно было бы ответить, апеллируя к нашей интуиции об обычном пространстве. Однако такая интуиция непригодна, когда мы начинаем развивать общую динамическую теорию; эта теория должна быть построена на математическом основании; если наша интуиция правильна и полезна, мы смогли бы избегать чисто формальных аргументов. [9]
Как отмечалось в § 63, изложение общей динамической теории ( с точки зрения современной чистой математики) дано в этой книге на довольно низком уровне математической строгости. Отсюда возникают очень сложные топологические вопросы, которых мы в этой книге не рассматриваем. [10]
Теория катастроф, как и вообще анализ, дает числа. Она также дает ответы на топологические вопросы, а поскольку ее изобрели и впервые проповедовали топологи, именно на эти ответы и был сделан акцент. Как только она была понята учеными, которые мыслили в физических числах, вводили в нее физические числа и задавали ей численные вопросы, теория катастроф начала доставлять численные ответы. Это просто выражение общей точки зрения на математику в целом как на тавтологичную, нуждающуюся в гипотезах, чтобы производить заключения. Никакая математическая теорема никогда не дает информации в смысле теории информации - информации о том, что нечто, не обязательно верное, оказалось верным в данном случае - лишь эксперимент может это сделать. [11]
До тех пор пока мы рассматриваем достаточно малую область пространства изображений ( динамика в малом), топологические вопросы не возникают, и мы можем предположить поэтому, что малая область имеет простую топологию внутренности евклидовой сферы соответствующей размерности. Эта книга следует в основном традициям математической физики, в которой топологические вопросы являются предметом для исследования ad hoc в частных случаях. [12]
Мы хотим показать, что определение группы с помощью образующих и соотношений совершенно естественно возникает и при изучении некоторых топологических вопросов. [13]
Таким образом, изучение многообразий сводится к изучению векторных расслоений, изоморфизмов между ними и способов деформировать послойную гомотопическую эквивалентность между векторными расслоениями в изоморфизм. Эти вопросы имеют теоретико-гомотопическую природу, и мы можем разложить и арифметизировать их по схеме гл. При этом окажется, что нечетные компоненты кусочно линейных и топологических вопросов обладают удивительно красивой структурой, включающей в себя гармонично согласованные друг с другом четырехша-говую периодичность и симметрию Галуа. [14]
Решение ее хорошо известно, если ko - С - поле комплексных чисел. Это накрытие имеет ту же степень, что и расширение k / k, и обладает конечным числом точек ветвления. Задача сводится, таким образом, к топологическому вопросу, ответ на который хорошо известен. Они соответствуют неразветвленным накрытиям поверхности 91 - S, которые, в свою очередь, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами конечного индекса фундаментальной группы 7Ti ( 9l - 5) этой поверхности. [15]