Cтраница 3
В основе всей динамики твердого тела лежат уравнения Эйлера, предложенные им в 1767 г. Уравнения эти определяют движение твердого тела около неподвижной точки и имеют место при произвольном движении твердого тела, так как самое общее движение твердого тела может быть представлено в виде суммы переносного поступательного движения, определяемого движением центра масс тела, и относительного движения тела вокруг центра масс. Центр масс твердого тела движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса тела и приложены все действующие на тело силы. Относительное движение твердого тела вокруг центра масс определяется теоремой об изменении момента количества движения относительно осей Кенига. [31]
В динамике следует говорить о центре масс материальной системы, а не о центре тяжести. Необходимо отметить, что положение центра масс твердого тела не меняется относительно точек тела. Если же система состоит из перемещающихся друг относительно друга материальных точек, то положение центра масс системы относительно ее точек может изменяться. [32]
Из формул (5.54) и (5.55) следует, что значения моментов инерции зависят от выбора начала подвижной системы координат Охуг и направления ее осей. Начало координат рекомендуется принимать в центре масс твердого тела. Если однородное твердое тело имеет ось симметрии, то эта ось является его главной центральной осью инерции. Одну из осей системы координат целесообразно совместить с этой осью, тогда центробежные моменты инерции, выражения которых включают координаты этой оси, окажутся равными нулю. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то во всех точках этой плоскости одна из главных осей инерции направлена по перпендикуляру к этой плоскости. Одну из осей системы координат необходимо направить перпендикулярно к плоскости симметрии, тогда центробежные моменты инерции, зависящие от координат этой оси, будут равны нулю. [33]
Уравнения (4.107) и (4.112) являются основными уравнениями движения - твердого тела. Первое из них выражает тот факт, что центр масс твердого тела движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена именно в этой точке и все силы действовали бы на нее. Второе уравнение определяет производную по времени от момента импульса тела, которая равна полному моменту сил, действующих на тело. [34]
Уравнения (4.107) и ( 4.1 12) являются основными уравнениями движения твердого тела. Первое из них выражает тот факт, что центр масс твердого тела движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена именно в этой точке и все силы действовали бы на нее. Второе уравнение определяет производную по времени от момента импульса тела, которая равна полному моменту сил, действующих на тело. [35]
Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, следовательно, для определения положения в пространстве требуется шесть независимых между собой параметров. В качестве таких параметров чаще всего выбирают координаты центра масс твердого тела и углы Эйлера или какую-либо другую систему углов, наиболее удобных в рассматриваемой конкретной задаче. [36]
Задачи динамики поступательного движения твердого тела решаются посредством теоремы о движении центра масс материальной системы. Действительно, применив эту теорему, мы определим уравнение траектории, скорость и ускорение центра масс твердого тела. При поступательном же движении твердого тела траектории всех точек одинаковы, а скорости и ускорения их соответственно равны. [37]
Рассмотрим движение свободного абсолютно твердого тела. На рисунке 3.18 изображена система координат х, у и z, относительно которой определяется положение центра масс твердого тела А. На этом же рисунке показана подвижная система координат х, у и-г, начало которой О совмещено с центром масс тела А. В общем случае при движении свободного твердого тела возможно его вращение около мгновенной оси, проходящей через центр инерции. На указанном выше рисунке изображена угловая скорость вращения твердого тела, совпадающая с мгновенной осью вращения. [38]
Твердое тело с одной осью симметрии, главные моменты инерции которого равны А, А, С, может качаться около одной из экваториальных осей, занимающей горизонтальное положение. Эта ось установлена в вертикальной раме, вращающейся с постоянной угловой скоростью о около своего вертикального диаметра, проходящего через центр масс твердого тела. Составить уравнения движения и доказать, что устойчивым будет вертикальное или горизонтальное положение оси симметрии в зависимости от знака неравенства С А. [39]
В общем случае правые части этих уравнений зависят от шести параметров и их производных, так что приходится при определении решения системы рассматривать совместно все шесть уравнений движения. В ряде частных случаев обе группы уравнений удается изучать независимо одну от другой, и задача разбивается на две: 1) изучение движения центра масс твердого тела; 2) изучение движения твердого тела относительно центра масс. Таким образом, например, удается решать многие задачи о движении искусственных спутников Земли. [40]
Задача о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки издавна привлекала внимание всех крупных механиков и математиков. Эйлер в 1758 г. впервые рассмотрел решение этой задачи для случая, когда центр масс совпадает с неподвижной точкой. В 1788 г. Лагранжем был исследован другой случай движения тяжелого твердого тела, когда эллипсоид инерции, построенный для неподвижной точки, является эллипсоидом вращения, а центр масс твердого тела находится на оси симметрии этого эллипсоида. После открытия Лагранжа в течение целого столетия, несмотря на усилия многочисленных ученых, в том числе таких крупных математиков, как Пуассон, Якоби, Пуансо, не было получено новых существенных результатов. [41]
Импульс 5, приложенный к маятнику во время удара, вызывает ударные силы давления на подшипники, в которых укреплена ось вращения маятника. Соответственно возникают и равные этим силам, но противоположно направленные реакции подшипников. Полагая подшипники расположенными симметрично по отношению к точке О, заменим эти две реакции одной реакцией, равной их сумме и приложенной к точке О. Для этого применим уравнения, которыми определяется действие ударных сил на центр масс твердого тела. [42]